Полином - корени и разлагане

[math10acc]

Здравейте! Аз съм чисто нов във форума и ви викам за помощ
Извинете ако съм объркал раздела.

Задачата е следната.
Намерете рационалните корени на полинома [tex]f = x^5 - 6x^4 +16x^3 - 24x^2 + 20x - 8[/tex] и го разложете на множители.

Стигнал съм до тук. Използвам Хорнер и Безу.
[tex]a_5 = 1[/tex] и [tex]a_0 = -8[/tex]

[tex]\alpha = \frac{m}{k}[/tex]

[tex]m[/tex] = ±1, ±2, ±4, ±8
[tex]k[/tex] = ±1

[tex]\alpha[/tex] = ±1, ±2, ±4, ±8


[tex]\begin{tabular}{r |r | r | r | r | r | r |}
& 1 & -6 & 16 & -24 & 20 & -8 \\ \hline
1 & 1 & -5 & 11 & -13 & 7 & -1 \\ \hline
-1 & 1 & -7 & 23 & -47 & 67 & -75 \\ \hline
2 & 1 & -4 & 8 & -8 & 4 & 0 \\ \hline
2 & 1 & -2 & 4 & 0 & & \\ \hline
2 & 1 & 0 & & & & \\ \hline
\end{tabular}[/tex]

1 ≠ 0 не е корен
-1 ≠ 0 не е корен
2 = 0 корен

[tex]\alpha _1[/tex] = [tex]2[/tex] е трикратна [tex]0[/tex]

[tex]f = (x - 2)(x^4 - 4x^3 +8x^2 -8x +4)[/tex] =
= [tex](x - 2)^2(x^3 -2x^2 +4x)[/tex] =
= [tex](x - 2)^3(x^2)[/tex] ????

Е тук на разлагането май има нещо гнило.. като направя проверка с умножение
[tex](x - 2)(x^4 - 4x^3 +8x^2 -8x +4)[/tex] = [tex]f = x^5 - 6x^4 +16x^3 - 24x^2 + 20x - 8[/tex]
а другите 2 от долу не ми се получават... нещо съм объркал, но от толкова гледане или не знам от какво.. Не мога да разбера къде ми е грешката. Ако може да ми помогнете.

[strangerforever]

2 не е двоен, нито троен корен! Получил си 0, но си забравил, че не трябва да спираш, а трябва да умножиш и събереш още един път, откъдето се вижда, че остатъкът не е нула.

[amsara]

[tex](x-2)(x^4-4x^3+8x^2-8x+4)[/tex]Втория множител успях да разложа с допълване до точен квадрат.
[tex]x^4+4x^2+4+4x^2 -4x^3-8x=(x^2+2)^2 -(4x^3+8x) +4x^2=(x^2+2)^2-4x(x^2+2)+4x^2=[/tex]
[tex]=(x^2+2)^2-2.2x(x^2+2)+ (2x)^2=(x^2+2+2x)^2[/tex]

=>[tex](x-2)(x^2+2x+2)^2[/tex]

[math10acc]

ем верно е чак се чудех що ми остава такова място през 1 объркал съм я.
Ето я поправена ако не сбъркам пак.
[tex]\begin{tabular}{r |r | r | r | r | r | r |}
& 1 & -6 & 16 & -24 & 20 & -8 \\ \hline
1 & 1 & -5 & 11 & -13 & 7 & -1 \\ \hline
-1 & 1 & -7 & 23 & -47 & 67 & -75 \\ \hline
2 & 1 & -4 & 8 & -8 & 4 & 0 \\ \hline
2 & 1 & -2 & 4 & 0 & 4 & \\ \hline
\end{tabular}[/tex]

1 ≠ 0 не е корен
-1 ≠ 0 не е корен
2 = 0 корен

[tex]\alpha _1[/tex] = [tex]2[/tex] е [tex]0[/tex] на [tex]f(x)[/tex]

[tex]f(x) = (x - 2)(x^4 - 4x^3 + 8x^2 -8x +4)[/tex]

Сега да прилагам ли Хорнер на [tex](x^4 - 4x^3 + 8x^2 -8x +4)[/tex] или да разложа [tex](x - 2)(x^4 - 4x^3 + 8x^2 -8x +4)[/tex] както amsara показа? Защото ако разлагам само.. пиша това, което amsara каза, а като продължавам получих това:

[tex]a_4 = 1[/tex] и [tex]a_0 = 4[/tex]

[tex]\alpha = \frac{m}{k}[/tex]

[tex]m[/tex] = ±1, ±2, ±4
[tex]k[/tex] = ±1

[tex]\alpha[/tex] = ±1, ±2, ±4



[tex]\begin{tabular}{r |r | r | r | r | r | r |}
& 1 & -4 & 8 & -8 & 4 \\ \hline
1 & 1 & -3 & 5 & -3 & 1 \\ \hline
-1 & 1 & -5 & 13 & -21 & 25 \\ \hline
2 & 1 & -2 & 4 & -0 & 4 \\ \hline
-2 & 1 & -6 & 20 & -48 & 100 \\ \hline
4 & 1 & 0 & 8 & 24 & 100 \\ \hline
-4 & 1 & -8 & 40 & -168 & 672 \\ \hline
\end{tabular}[/tex]

всички са ≠0

кое се пише за решение?

[strangerforever]

Никое. Няма повече рационални корени и неразложимо нататък по Хорнер.

[amsara]

А защо отговорът ти е никое?Условието гласи да се намерят рационалните корени и да се разложи на множители. Двойката като единствен такъв корен е намерена, но защо пък да е погрешно по-нататъшното разлагане, не с Хорнер, а с друг метод?Едно разлагане на множители, каквото се иска в условието освен намирането на рационалните корени, не ли пълно, когато се докара докрай?Още повече, че с такова разлагане на втория множител до квадратен тричлен веднага се вижда, че корените там не са рационални , без да се налага да се правят всичките тия замествания.

[strangerforever]

А защо отговорът ти е никое?Условието гласи да се намерят рационалните корени и да се разложи на множители. Двойката като единствен такъв корен е намерена, но защо пък да е погрешно по-нататъшното разлагане, не с Хорнер, а с друг метод?Едно разлагане на множители, каквото се иска в условието освен намирането на рационалните корени, не ли пълно, когато се докара докрай?Още повече, че с такова разлагане на втория множител до квадратен тричлен веднага се вижда, че корените там не са рационални , без да се налага да се правят всичките тия замествания.

Не съм казал, че отговорът на задачата е "никое". Не съм и казал, че повече не трябва да се разлага. Единствено казах, че по Хорнер е неразложим нататък и никое от тези, които е получил "в табличката" не се пишат. Ако съм се изразил грешно, извинявай.

[amsara]

Понеже авторът попита кое е вярното за писане, това или онова, и аз разбрах това твое "никое" като отговор на този въпрос.Сега схванах ти какво си имал предвид.

[math10acc]

Хора мерси за помощта! peace