Четиръгълник

[Nuki]

1) Четиръгълник ABCD с периметър 18\sqrt{2}/5 e вписан в окръжност с радиус 1. Намерете S ako, AB=BC и ADC= 90^\circ

2) Четириъгълник с перпендикулярни диагонали е вписан в окръжност с радиус R и описан около окръжност с радиус r .Намерете лицето на четириъгълника.

Благодаря ви предварително

[s.karakoleva]

[tex]AC[/tex]е диаметър [tex]\Rightarrow AC = 2[/tex]

От [tex]\triangle ABC[/tex] - равнобедрен следва, че [tex]BO[/tex]- височина, медиана и [tex]AB=BC=\sqrt2.[/tex]

Нека [tex]AD=b, CD=a[/tex]. [tex]P=a+b+2\sqrt2\Rightarrow a=\frac{8\sqrt2}{5}-b[/tex]

По Питагорова теорема [tex]a^2+b^2=AC^2\Rightarrow \left(\frac{8\sqrt2}{5}-b\right)^2+b^2=4[/tex], откъдето след опростяване се получава квадратно уравнение [tex]25b^2-40\sqrt2b+14=0[/tex] с корени [tex]\frac{7\sqrt2}{5}[/tex] и [tex]\frac{\sqrt2}{5[/tex]. По формулите на Виет също се вижда, че [tex]ab=14/25.[/tex]

[tex]S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}+\frac12\cdot \frac{14}{25}=1+\frac{7}{25}=1.28[/tex] квадратни единици.