Равнобедрен трапец, равнобедрен триъгълник

[gab4eto_pz11]

Задачи номер 7. и 10. Благодаря предварително. Моля за помощ поне как да тръгна, може да не ми я предоставяте докрай решена, а ако има благосклонни и към това, ще е още по-добре: приключвам важен материал, в който са включени тези задачи

[Vulev]

Задача 10. Нека трапecът е ABCD с малка основа CD = а. Нека диагоналите се пресичат в точка О.
Триъгълниците ABO и CDO са подобни, защото в тях участват две двойки кръстни ъгли при пресичането на диагоналите с основите. Следователно CD:AB = CO:AO = DO:BO = отношението на височините към CD и AB, а те по условие са 12 и 24, т.е. CD:AB = CO:AO = DO:BO = 1:2 (=12:24). Оттук AB = 2CD = 2a. С разписване ще получиш, че CO = AC/3; DO = BD/3 и BO = 2BD/3. Ще считаме, че в условието се говори за бедрото BC. За лицето на триъгълник COD имаме [tex]S_{COD}=\frac{AC.BD}{ 18}[/tex] (произведението на катетите върху 2) и освен това [tex]S_{COD}=\frac{12.a}{ 2}[/tex] (хипотенузата по височината върху 2). Приравняваме и получаваме [tex]\frac{AC.BD}{ 18} = 6.a[/tex]. Отбелязвам с (1) равенството AC.BD=18.6.a=108a. Ще ни трябва. По подобен начин от лицето на BOC след приравняване ще имаме [tex]\frac{2.AC.BD}{ 18} = \frac{60 \sqrt{13} }{ 26}.BC[/tex]. Оттук и от (1) намираме [tex]12.a= \frac{60 \sqrt{13} }{ 26}.BC[/tex] или [tex]BC=\frac{2\sqrt{13} }{ 5}.a[/tex].
От Питагоровата теорема за триъгълници COD и BOC поетапно получаваме:[tex]\frac{AC^{2}}{9 } +\frac{BD^{2}}{9 }=a^{2}[/tex] и [tex]\frac{AC^{2}}{9 } +\frac{BD^{2}}{9 }=\frac{52a^{2}}{25 }[/tex]. В последното равенство заместваме с предпоследното и намираме, че [tex]BD=\frac{9}{5 } a[/tex]. Сега от (1) следва [tex]AC=60[/tex]. Връщаме се в триъгълник COD и определяме CO = 20 и DO = 3/5 a. Височината към хипотенузата в този триъгълник е 12 и го разделя на два други правоъгълни триъгълници. Изразяваме в тях Питагоровата теорема, смятаме и получаваме, че a=25. Тогава лицето на трапеца е S = (a+2a).(12+24)/2= 1350.

[Vulev]

Задача 7. Нямам нерви да я описвам подробно. Ето идеята:
Нека CH е ъглополовящата, медианата и височината към AB. АМ и СН се пресичат в центъра О на вписаната окръжност. От свойствата на ъглополовящата СО в триъгълник АМС намираме АС:СМ=АО:СМ. Ако означим АС с а, за СМ получаваме, че е 9/11 а. Тогава ВМ=2/11 а. Сега от ъглополовящата АМ за АВС намираме АВ:АС=ВМ:СМ=2:9 и значи АВ = 2/9 а.Тогава ВН = 1/2АВ = а/9. От правоъгълния триъгълник ВHC намираме cosB = BH/BC=1/9 и тогава sinB=[tex]\frac{4\sqrt{5} }{9 }[/tex]. От косинусовата теорема се намира колко е а. Накрая за лицето използваме S=1/2.AB.BC.sinB.

[gab4eto_pz11]

Много Ви благодаря!!!

[Vulev]

Задача 10. От Питагоровата теорема за триъгълници COD и BOC поетапно получаваме:[tex]\frac{AC^{2}}{9 } +\frac{BD^{2}}{9 }=a^{2}[/tex] и [tex]\frac{AC^{2}}{9 } +\frac{BD^{2}}{9 }=\frac{52a^{2}}{25 }[/tex].

Второто равенство в действителност е [tex]\frac{AC^{2}}{9 } +\frac{4BD^{2}}{9 }=\frac{52a^{2}}{25 }[/tex].

[gab4eto_pz11]

" Връщаме се в триъгълник COD и определяме CO = 20 и DO = 3/5 a. Височината към хипотенузата в този триъгълник е 12 и го разделя на два други правоъгълни триъгълници. Изразяваме в тях Питагоровата теорема, смятаме и получаваме, че a=25. Тогава лицето на трапеца е S = (a+2a).(12+24)/2= 1350. " - дотук се оправих, но след като написах Питагоровите теореми за тези 2 триъгълника, намерих CM = 16 см и после не знам какво да правя: другото ми е DM на втора + ОМ на втора = ОD на втора ?????????? получих някакво уравнение с дискриминанта после....

[Vulev]

Аз получавам [tex]\frac{16}{25 }a^{2}-32a+400=0[/tex]. Деля на 16 и получавам [tex]\frac{a^{2}}{25 }-2a+25=0[/tex] или [tex](\frac{a}{ 5}-5)^2=0[/tex], откъдето [tex]a=25[/tex].
Хрумна ми и по-хубаво решение. Триъгълниците CMO и COD са подобни (правоъгълни с общ остър ъгъл). Следователно [tex]\frac{CO}{CD } =\frac{CM}{CO }=>\frac{20}{a }=\frac{16}{20 }=>a=\frac{400}{16 } =25[/tex]

[gab4eto_pz11]

Нали разглеждаме правоъгълните триъгълници MOD и MOC. От COM намирам MC=16 см. Откъде получаваш това уравнение ти за другия триъгълник? Би ли го написал с букви първо и после да заместиш?

[Vulev]

След като си намерила СМ=16 и си задала CD=а, получаваш за МD=16-a. По условие ОМ=12, а според решението ОD=[tex]\frac{3}{5 }a[/tex]. От Питагор за триъгълник OMD получаваме [tex]OD^{2}=OM^{2}+MD^{2}=>\frac{9}{25 }a^{2}=144+(16-a)^{2}=>\frac{9}{25 }a^{2}=144+256-32a+a^{2}=>...[/tex]

[gab4eto_pz11]

да, съжалявам за недоглеждането от моя страна

[gab4eto_pz11]

но трябва да бъде а-16, а не 16-а

[Vulev]

Да! Сгрешил съм. Това не променя резултата.