2 свързани задачи за трапец

[maria8]

6. Даден е трапец ABCD (AB||CD). През средата L на малката основа CD са построени прави, успоредни съответно на бедрата AD и BC. Те пресичат голямата основа AB съответно в точки M и N. Да се докаже, че отсечката, която съединява средите на диагоналите, е средна отсечка в [tex]\Delta[/tex]LMN.
7. Бедрото на равнобедрен трапец е 2 пъти по-голямо от отсечката, която съединява средите на диагоналите му. Намерете ъглите на трапеца. /Упътване: Използвайте задача 6/

[Knowledge Greedy]

Решението с вектори ще е най-кратко, но то е недолюбвано от учениците по простата причина, че няма достатъчно време, за да бъде обяснено както трябва. Оттук започват да страдат физиката, информатиката, химията, биологията и цялостната обща и функционална култура на учениците
(частично спасявана по-късно от векторните програми на iPad -ите ).
Затова - по-стандартно - със средни отсечки.

Трапец Средни отсечки.PNG (5.62 KiB) Прегледано 1929 пъти

Първото впечатление - хубав, но много странен чертеж! Защо се получава така, че [tex]LM, PQ[/tex] и [tex]AC[/tex]минават през една точка?! (Същото и за друга тройка отсечки[tex]LN, BD, PQ[/tex] ?)
Да означим с [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] дължините на голямата и малката основи на трапеца. Нека още диагоналът [tex]AC[/tex] пресича средната отсечка [tex]PQ[/tex] в точката [tex]S[/tex] и [tex]PQ[/tex] пресича [tex]LM[/tex] в точката [tex]S_{1}.[/tex]
(Обърнете внимание, че докато сме сигурни за [tex]\angle AS_{1}M = \angle CS_{1}L[/tex] като връхни, то за равенството [tex]\angle ASM = \angle CSL[/tex] не сме сигурни!)
Знаем, че средната отсечка на трапеца [tex]PQ||DC[/tex], значи [tex]PS||DC[/tex] и тъй като [tex]P[/tex] е среда на [tex]AD[/tex], следва [tex]PS||DC[/tex] е средна отсечка на [tex]\Delta CDA[/tex] - оттук точка [tex]S[/tex] следва,че е среда на [tex]AC[/tex].
Дали точката [tex]S[/tex] съвпада с точката [tex]S_{1}?[/tex]
Разглеждаме триъгълниците [tex]\Delta AMS_1[/tex] и [tex]\Delta CLS_1[/tex].
[tex]\left.\begin{matrix}
AM & = & CL & \\
\angle MAS_{1} & = & \angle LCS_{1} \\
\angle AMS_{1} & = & \angle CLS_{1}
\end{matrix}\right\}[/tex][tex]\Rightarrow {\Delta AMS_1}[/tex] и [tex]{ \Delta CLS_1}[/tex] са еднакви (по втори признак)[tex]\Rightarrow AS_1=CS_1[/tex] , т.е. точката [tex]S_1[/tex] е среда на [tex]AC[/tex]. Но отсечка има само една среда! Следователно [tex]S_1[/tex] и [tex]S[/tex] са една и съща точка.
Без никаква разлика в разсъжденията, показваме, че и другата тройка отсечки минават през една точка[tex]F[/tex] -както е на чертежа. Остава да набележим извод за отсечката [tex]SF[/tex] каква е на [tex]\Delta MNL[/tex].
Всички разсъждения дотук ни позволяват и да изчислим дължината на [tex]SF[/tex] чрез основите на трапеца.
Така влизаме с летящ старт в решението на задача 7...
Успех!

[math10.com]

Прекалено усложняваш нещата.
[tex]LM||AD , AM||DL \Right AMLD[/tex] е успоредник.Нека [tex]AC\cap LM=S[/tex]
[tex]\triangle AMS,\triangle CLS[/tex] са еднакви по 2-ри признак:
[tex]AM=LD=\frac{1}{2}CD=CL , L[/tex] е среда на [tex]CD[/tex] по условие.
[tex]\angle CAM=\angle ACL[/tex] като кръстни
[tex]\angle LMA=\angle MLC[/tex] като кръстни
[tex]\Right AS=SC , MS=LS[/tex] като съответни елементи в еднакви триъгълници
[tex]S[/tex] е среда и на диагонала [tex]AC[/tex] и на отсечката [tex]ML[/tex]
Аналогични са и разсъжденията за точка [tex]F[/tex]
От където следва , че [tex]SF[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle LMN[/tex]
Използвал съм означенията от чертежа в предишния пост

[Knowledge Greedy]

Да, на малките наистина ще им се види сложно. Трябва да се изчистват решенията от излишни за момента подробности.