Лице на трапец по бедра и отношение на основи и диагонал?

[david99]

Трапец със бедра 9см и 12см и отношение на голяма основа:малък диагонал:малка основа = 9:7:6. Търси се лицето на трапеца.

[Knowledge Greedy]

Продължаваме бедрата до пресичането им в точка [tex]P[/tex].
С теорема на Талес откриваме, че [tex]DM=24[/tex] и [tex]CM=18[/tex] - използваме, че [tex]DC:AB=6:9[/tex].
Означаваме [tex]\angle APB=\varphi[/tex] и още [tex]CD=6x[/tex] и [tex]BD=7x[/tex].
Прилагайки косинусова теорема за [tex]\Delta DBM[/tex] и [tex]\Delta DCM[/tex].
От получената система намираме или [tex]x[/tex] или [tex]cosx[/tex], респективно [tex]sinx[/tex] и до търсеното лице остава една стъпка.

[math10.com]

Аз бих подходил така:
Нека [tex]AB=9x ; BD=7x; CD=6x ; AD=12 ; BC=9[/tex] и нека [tex]DM||BC ;DM=BC ; M\in AB \Rightarrow BM=CD=6x ; AM=AB-CD=3x[/tex]
[tex]\angle AMC=\varphi \Rightarrow \angle BMC=180^\circ-\varphi[/tex] , като съседни.
Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta AMD,\Delta BMD[/tex] , като изразяваме от 2-те теореми ъгъл [tex]\varphi[/tex]
[tex]AC^2=AM^2+DM^2-2AM.DM.cos \varphi \Rightarrow cos \varphi= \frac{AM^2+DM^2-AC^2}{2AM.DM}=\frac{9x^2-63}{54x}[/tex]
[tex]BD^2=BM^2+DM^2-2BM.DM.cos {(180^\circ-\varphi)} \Rightarrow cos \varphi= \frac{BD^2-BM^2-DM^2}{2BM.DM}=\frac{13x^2-81}{108x}[/tex]
Приравняваме двете и получаваме:[tex]18x^2-126=13x^2-81 \Rightarrow 5x^2=45 \Rightarrow x=3[/tex](Премахнал съм невъзможните стойности [tex]x=0;x=-3[/tex])
Сега с Херонова формула намираме лицето на [tex]\Delta AMD:[/tex][tex]S_{AMD}=\sqrt{15.6.6.3}=18\sqrt{5}[/tex] и от лицето намираме височината към [tex]AM[/tex] , която се явява и височина на трапеца:[tex]h=\frac{2S_{AMD}}{AM}=\frac{36\sqrt{5}}{9}=4\sqrt{5}[/tex]
[tex]S_{ABCD}=\frac{(AB+CD).h}{2}=\frac{45.4\sqrt{5}}{2}=90\sqrt{5}[/tex]