Правоъгълен трапец

[voikovstef1]

В правоъгълния трапец ABCD ( AB||CD и AD [tex]\bot[/tex] AB) е вписана окръжност с център O, а разстоянието от точката O до краищата на отсечката BC са 8 cm и 4 cm. Да се намери радиусът на вписаната окръжност.
Отговор: [tex]\frac{8\sqrt{5}}{5}[/tex] cm

[Добромир Глухаров]

Правоъгълен трапец.png (16.86 KiB) Прегледано 1969 пъти

$\Delta BOC$ - правоъгълен. ( Използва се, че $BO$ и $CO$ са ъглополовящи. )

$BH=\sqrt{BO^2-OH^2}=\sqrt{64-R^2}\\
CH=...=\sqrt{16-R^2}$

$BH.CH=OH^2\\
\sqrt{64-R^2}\sqrt{16-R^2}=R^2\\
(64-R^2)(16-R^2)=R^4\\
1024-80R^2+R^4=R^4\\
R^2=\frac{64}{5}\\
R=\frac{8\sqrt{5}}{5}$

[Добромир Глухаров]

А може и от същия $\Delta BOC$

$2S=BC.OH=BO.OC\\
\sqrt{8^2+4^2}.R=8.4\\
\sqrt{80}.R=32\\
R=\frac{32}{4\sqrt{5}}\\
R=\frac{8\sqrt{5}}{5}$