Трапец вписан в полуокръжност.

[Parasyte]

Трапецът АВCD е вписан в полуокръжност с диаметър AB = 10 cm. Намерете
периметъра на трапеца, ако е известно, че основата CD е равна на бедрото АD.
Отговор: 25cm

[Davids]

poluokrujnost.png (23.89 KiB) Прегледано 705 пъти

На чертежа съм означил нужните радиуси за решението. От факта, че трапецът е вписан в полуокръжност, следва, че е равнобедрен. От даденото имаме и че горната основа е равна на бедрата. Следователно, като спуснеш двата радиуса до D и C, лесно се виждат трите еднакви равнобедрени триъгълника [tex]\Delta AOD, \Delta DOC, \Delta COB[/tex]. Оттам следва, че трите ъгли, означени с [tex]\alpha[/tex], са равни. Следователно:
[tex]3\alpha = 180^\circ \Leftrightarrow \alpha = 60^\circ[/tex]
Оттам получаваш, че триъгълниците са равностранни. Следователно [tex]AD = DC = CB = r = 5cm[/tex]
Обиколката е лесна: [tex]P_ABCD = d + 3r = 10 + 15 = 25cm[/tex]

Дори и да приемем, че трапецът е начертан така и долната му основа не се припокрива с радиуса:

poluokrujnost2.png (9.16 KiB) Прегледано 705 пъти

To като спуснем радиусите към K и L, от триъгълник [tex]O_1KL[/tex] ще следва, че бедрата (равни на горната основа) са равни на радиуса и на другите отсечки, спуснати от върховете на горната основа към пресечните точки на диаметъра. Оттам ще следва, че така или иначе правите се припокриват и трапецът ще трябва да е вписан по диаметъра. Вижда се лесно на чертежа кое е парадоксалното при този вариант:

poluokrujnost4.png (13.66 KiB) Прегледано 705 пъти

[Parasyte]

Благодаря за изчерпателното решение!