Успоредник ABCD

[freetimeforme]

т. М лежи на АD, така че АМ:AB=1:5
N лежи на АС, така че AN:AC=1:6
Докажете че:
точките D M N лежат на една права. Намерете отношението DN:MN=?

[KOPMOPAH]

Ако се досетим, че има малка грешка в условието, а именно - т. $M$ лежи на $AB$, а не на $AD$, то чертежът изглежда така, както на картинката.
Построяваме т. $M_1$ така, че $BM_1=AM$. Тогава $\triangle AMD \cong \triangle BM_1C$ и страните $MD$ и $M_1C$ са успоредни.
Сега разглеждаме $\triangle AMN$ и $\triangle AM_1C$. Те са подобни, защото имат общ ъгъл, а страните им, които го сключват са пропорционални - $AM:AM_1=AN:AC=1:6$. От подобието следва, че $MN$ и $M_1C$ са също успоредни, следователно $D, N$ и $M $ лежат на една права, а $DM:NM=6:1 \Rightarrow DN:MN=5:1$