Четириъгълник, който не е успоредник

[freetimeforme]

Докажете, че отсечките, които съединяват средите на срещуположните му страни и средите на неговите диагонали се пресичат в 1 точка, която ги разполовява.

[Davids]

Изцяло само и единствено проследяване на средни отсечки и основно знание за диагоналите в успоредник - че се разполовяват
Прилагам прилежно изработен чертеж, подравнен с кутийка от локум, изографисан с флумастери за нагледност
Малко ми съвпаднаха едната права свързваща средите на диагоналите и единия диагонал, ама съм нацелил явно медианата в пресечната точка. Така или иначе е оцветена в червено и доказателството си важи

14872661_1078666938919062_1339454861_n.jpg (21.21 KiB) Прегледано 640 пъти

Първо гледаме розовите линийки за доказателство на първата част от условието.
Разглеждайки триъгълниците [tex]\Delta ABD[/tex] и [tex]\Delta BCD[/tex] стигаме до извода, че [tex]MQ[/tex] - средна отсечка в първия, и [tex]PN[/tex] - средна отсечка във втория. Следователно: [tex]MQ || BD[/tex] и [tex]PN || BD[/tex], откъдето веднага виждаме, че [tex]MQ||PN[/tex]. Аналогично се доказва и успоредността на [tex]PQ||MN[/tex]. Вече е очевидно, че [tex]MNPQ[/tex] е успоредник, а отсечките, свързващи средите на противоположните страни на големия четириъгълник, се явяват негови диагонали. Следователно те се разполовяват в пресечната си точка.
По подобен път ще докажем и че тази точка разполовява минаващата през нея отсечка, свързваща средите на диагоналите. Гледаме червения флумастер. Разглеждаме [tex]\Delta ACD[/tex] и [tex]\Delta ABD[/tex]. В тях, в съответно същия ред, [tex]FP[/tex] и [tex]ME[/tex] са средни отсечки, всяка една от които поотделно успоредна на общата страна [tex]AD[/tex]. Следователно [tex]ME||FP[/tex]. Аналогично доказваме успоредността на другите две противоположни червени отсечки, с което достигаме до заключението, че [tex]MFPE[/tex]е успоредник с диагонали [tex]MP[/tex] и [tex]EF[/tex], пресичащи се в същата точка от първото подусловие.
С това задачата приключва