Четириъгълник, който се оказва трапец

[Sweetbubble]

Изпъкнал четириъгълник е описан около окръжност с радиус [tex]r[/tex]. Три негови последователни ъгъла са с големина [tex]90^\circ, 30^\circ и 150^\circ.[/tex]Ъгълът [tex]\varphi[/tex] между диагоналите му се определя от sin. На колко е равен sin[tex]\varphi[/tex]

[Knowledge Greedy]

Наистина се оказва трапец. Правоъгълен трапец.

Правоъгълен трапец.png (3.58 KiB) Прегледано 323 пъти

Височината му е [tex]2r[/tex]. Това всъщност е едното бедро. Другото бедро - общо прилежащо на ъглите от [tex]30^\circ[/tex] и [tex]150^\circ[/tex], е с големина [tex]4r[/tex].
От свойството на описания около окръжност четириъгълник [tex]AB+DC=AD+BC[/tex] следва, че сборът на основите е [tex]6r[/tex].
Оттук лицето на трапеца е [tex]S=\frac{6r}{2}2r=6r^2[/tex]
Остава да изразим лицето посредством друга формула, съдържаща [tex]sin\varphi[/tex]
[tex]S=\frac{1}{2}AC.BD.sin\varphi[/tex] [tex]^{(\ast)}[/tex]
С други думи, за намиране на ъгъла ни трябват диагоналите на трапеца.
Първо откриваме основите [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] с помощта на системата
[tex]\begin{array}{|l} a + b = 6r \\ a -b = 2r\sqrt{3} \end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} a = (3+\sqrt{3})r \\ b = (3-\sqrt{3})r \end{array}[/tex]
Сега с питагорова теорема [tex](\times 2)[/tex] намираме диагоналите.
[tex]AC=r\sqrt{(3-\sqrt{3})^2+2^2}[/tex]
[tex]BD=r\sqrt{(3+\sqrt{3})^2+2^2}[/tex]
Поставяме ги във формулата [tex]^{(\ast)}[/tex], приравняваме на [tex]6r^2[/tex], съкращаваме и получаваме [tex]sin\varphi =\frac{6}{\sqrt{37}}[/tex]