Задача от темате ротация и квадрат

[christian.wolfius]

Здравейте,

Опитваме се да реша следната задача, но без успех, бихте ли ми помогнали.

За квадрат ABCD точките P и Q са съответно от страните CD и BC и такива, че ъгъл PQA = 45 градуса.
Намерете периметъра на триъгълник PQC ако AD = a.

Благодаря ви предварително!

Поздрави!

[Knowledge Greedy]

Първо построяваме точка [tex]T[/tex] върху продължението на [tex]CD[/tex] - след точката [tex]D[/tex] така, че [tex]DT=BQ[/tex]

Допълнително построение в квадрат.png (3.73 KiB) Прегледано 833 пъти

Доказваме еднаквостта на [tex]\Delta ABQ[/tex] и [tex]\Delta ADT[/tex].
Като следствия от тази еднаквост установяваме равни съответни елементи и доказваме

Допълнително_два еднакви 3_ъгълника.png (5.18 KiB) Прегледано 833 пъти

еднаквостта на [tex]\Delta AQP[/tex] и [tex]\Delta ATP[/tex].
Като следствие получаваме, че всеки от ъглите [tex]\angle TAP[/tex] и [tex]\angle QAP[/tex] е с мярка [tex]45^\circ[/tex], защото общата им мярка ( [tex]\angle QAT[/tex]) e [tex]90^\circ[/tex].
Накрая изчисляваме периметъра на [tex]\Delta PQC[/tex]
[tex]P=a-x+a-y+x+y=2a[/tex] - виж означенията върху втория чертеж.

[christian.wolfius]

Здравей,

Много ти благодаря за отговора, помогна ми страшно много!

[christian.wolfius]

Здравей Knowledge Greedy,

Може ли да обясниш защо [tex]\Delta AQP \cong \Delta ATP[/tex] и как установихме, че PQ = x + y ?

[Knowledge Greedy]

Нали направихме допълнително построение, с което доказахме, че [tex]\Delta ADT\cong \Delta ABQ[/tex]

Допълнително_два еднакви 3_ъгълника и ОЩе.png (5.75 KiB) Прегледано 804 пъти

Оттук, като следствие имаме следните равенства на съответни елементи.
[tex]AT=AQ[/tex]
[tex]\angle DAT= \angle BAQ[/tex]

И още [tex]\angle PAD[/tex] допълва [tex]\angle BAQ[/tex] до [tex]45^\circ[/tex], защото тези два ъгъла заедно с [tex]\angle PAQ[/tex] дават общо [tex]90^\circ[/tex].
За [tex]\angle DAT[/tex] няма да повтарям [tex]^{\ast}[/tex], защо заедно с [tex]\angle QAD[/tex] образуват прав ъгъл.
Оттук - от последните две разсъждения следва, че [tex]\angle QAP=\angle P(D)AT[/tex]

Сега разглеждаме триъгълниците, за които питаш.
1.[tex]AP[/tex] е обща
2. [tex]AT=AQ[/tex]
3. [tex]\angle DAT=\angle PAQ[/tex]
по първи признак следва, че са еднакви [tex]\Delta DAT=\Delta PAQ[/tex] .

От тази еднаквост следва, че сините отсечки са равни [tex]PQ=PT[/tex]
Но [tex]PT=PD+DT=y+x[/tex] -виж допълнитеното построение и 2-ия, и третия чертеж.

А търсим периметъра на [tex]\Delta PQC[/tex] - събираме страните му (-виж допълнитеното построение и 2-ия, и третия чертеж) и получаваме това, което съм описал.
____________
[tex]^{\ast}[/tex] Реших да повторя - защото от правия ъгъл [tex]\angle BAD[/tex] изрязах жълтия от едното място и го залепих на другото. Ето така

Допълнително_два еднакви 3_ъгълника и ощео ще.png (5.78 KiB) Прегледано 804 пъти

-това беше в първия чертеж на решението.

[christian.wolfius]

Здравей, благодаря ти за изчерпателното обяснение!