две задачи за равнобедрен трапец

[shener.hadjimehmed]

1.Даден е равнобедрен трапец с основи а и b и [tex]\angle[/tex]AOD = φ , където О е пресечната точка на диагоналите. Лицето на трапеца е равно на ?
2.Острият ъгъл на равнобедрен трапец е α , а бедрото и голямата основа са равни на a. Диагоналът на трапеца е равен на?

[KOPMOPAH]

1. Отбелязваме диагонала на трапеца с $d$. Триъгълниците $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ са подобни и от подобието следва, че $AO=d\frac a{a+b}$, $CO=d\frac b{a+b}$. От косинусова теорема за $\triangle AOB$ получаваме $\left(d\frac b{a+b}\right)^2+\left(d\frac b{a+b}\right)^2+2\left(d\frac b{a+b}\right)\left(d\frac b{a+b}\right)\cos \varphi$, откъдето намираме $d=\cdots$ (тука сам(а) ). Пренасяме успоредно $BD \rightarrow EC$. Лицето на $\triangle AEC$ е равно на лицето на успоредника $ABCD$ (сещаш се защо ). По формулата за лице на триъгълник $S=\frac {d^2\sin \varphi} 2$ намираме окончателно $S$.

2. По косинусова теорема за $\triangle ABD$ имаме $d^2=a^2+a^2-2a.a.\cos \alpha$, откъдето намираме $d=\cdots$

[shener.hadjimehmed]

На 1ва и аз това получих, но всички представени отговори са с tg[tex]\varphi[/tex] или tg[tex]\varphi[/tex]/2

[KOPMOPAH]

Като изпозваш тригонометричните формули за половинки ъгли ще получиш тангенс от половинката ъгъл.