В равнобедрен трапец е вписана окръжност с център О

[shener.hadjimehmed]

В равнобедрен трапец е вписана окръжност с център О , която се допира до бедрото ВС в точка К. Ако ОС=6 и СК=4 , то лицето на трапеца е ?

[Добромир Глухаров]

Трапец.png (18.96 KiB) Прегледано 655 пъти

$\Delta OKC$ - правоъгълен - Питагорова теорема: $OK^2+CK^2=OC^2\Rightarrow OK^2=6^2-4^2=36-16=20=4.5=2^2.5\Rightarrow OK=2\sqrt{5}$

Радиусът на вписаната окръжност е $2\sqrt{5}$, следователно височината е $4\sqrt{5}$.

Означаваме половината от долната основа с $x$ ( половината от горната е $4$ ).

$\Delta CC_1B$ - правоъгълен - Питагорова теорема: $C_1B^2+CC_1^2=BC^2\Rightarrow (x-4)^2+(4\sqrt{5})^2=(x+4)^2$

$16.5=(x+4)^2-(x-4)^2=((x+4)+(x-4))((x+4)-(x-4))=(x\cancel{+4}+x\cancel{-4})(\cancel{x}+4\cancel{-x}+4)=2x.8=16x$

$x=5$

$S=\frac{AB+CD}{2}\cdot CC_1=\frac{\cancel{2}.5+\cancel{2}.4}{\cancel{2}}\cdot 4\sqrt{5}=9.4\sqrt{5}=36\sqrt{5}$