Равенство на ъгли

[123a]

$ABCD$ е изпъкнал четириъгълник и $M=AC$[tex]\cap[/tex]$BD$. Ъглополовящата на $\angle$$ACD$ пресича $AB$ в точка $K$. Aко $AM.CM+ CD.MA=DM.BM$, докажете, че $\angle$$BKC$$=$$\angle$$CDB$

[Hephaestus]

Нека означим с [tex]L[/tex] пресечната точка на [tex]KC[/tex] и [tex]BD[/tex]. Тъй като [tex]CL[/tex] e ъглополовяща в [tex]\triangle MCD[/tex], то от нейното свойство

имаме [tex]\frac{DL}{ML} = \frac{CD}{CM} \Rightarrow CD = \frac{CM.DL}{ML}[/tex]. По условие [tex]AM.CM + CD.MA = DM.BM \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow AM.CM + \frac{CM.DL}{ML}.MA = DM.BM \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM.CM.ML+CM.DL.MA}{ML} = DM.BM \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{AM.CM(ML + DL)}{ML} = DM.BM \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM.CM.MD}{ML} = DM.BM \Rightarrow[/tex] [tex]AM.CM.\cancel{MD} = \cancel{DM} .BM.ML \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow AM.CM = BM.ML[/tex] . От полученото равенство [tex]AM.CM = BM.ML[/tex] следва, че около четириъгълника [tex]ABCL[/tex] може да се опише окръжност. Тогава [tex]\angle ABL = \angle ACL[/tex] като вписани ъгли, които се измерват с половината от принадлежащата им обща дъга [tex]\widehat{AL}[/tex]. Имаме още, че [tex]\angle KBD = \angle ABL = \angle ACL = \angle KCD \Rightarrow \angle KBD = \angle KCD[/tex].

Точките [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex] лежат в една и съща полуравнина относно правата [tex]KD[/tex] и "виждат" отсечката [tex]KD[/tex] под един и същи ъгъл [tex](\angle KBD = \angle KCD)[/tex]. Тогава около четириъгълника [tex]KBCD[/tex] също може да се опише окръжност и следователно [tex]\angle BKC = \angle CDB = \frac{1}{2}\widehat{BC}[/tex] (вписани ъгли, измерващи се с една и съща дъга).