Успоредник с отношение К между голямата и малката страна

[veriti79]

В успоредник отношението на по-голямата към по-малката страна е к. В какво отношение ъглополовящата на успоредника дели неговото лице?

[S.B.]

Без заглавие (92).png (195.33 KiB) Прегледано 472 пъти

В успоредник отношението на по-голямата към по-малката страна е к. В какво отношение ъглополовящата на успоредника дели неговото лице?

[tex]\frac{a}{b} = k \Rightarrow a = k.b ,\angle BAC = 2\alpha ,\angle ADC = 180 - 2\alpha , AL -[/tex]ъглополовяща;

$S_{ABCD } = a.b.sin2\alpha = k.b.b sin2\alpha = k.b^{2}sin2\alpha$

[tex]\begin{cases} \angle BAL = \angle ALD = \alpha\\ \angle BAL = \angle LAD = \alpha\end{cases} \Rightarrow \angle DAL = \angle DLA \Rightarrow DL = AD = b[/tex]
$S_{ALD } = \frac{b^{2}}{2}sin(180 - 2\alpha) = \frac{b^{2}}{2}sin2\alpha$
$S_{ABCL } = S_{ABCD } - S_{ALD } = kb^{2}sin2\alpha - \frac{b^{2}}{2}sin2\alpha = b^{2}sin2\alpha(k - \frac{1}{2}) = \frac{b^{2}}{2}sin2\alpha(2k - 1)$
$\displaystyle \frac{S_{ABCL }}{S_{ALD }} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{b^{2}sin2\alpha(2k - 1)}{2}}{\displaystyle \frac{b^{2}sin2\alpha}{2}} \Rightarrow$
$$S_{ABCL } : S_{ADL } = (2k - 1) : 1 $$

[Евва]

(2 начин) Нека т.[tex]А_{1 }[/tex] и т.[tex]С_{1 }[/tex] лежат съответно на правите CD и AB така,че А[tex]С_{1 }[/tex]С[tex]А_{1 }[/tex] е правоъгълник.

Означаваме А[tex]А_{1 }[/tex]=С[tex]С_{1 }[/tex]=h ,ABCL е трапец.

[tex]\frac{S_{ABCL }}{S_{ALD }}[/tex]=[tex]\frac{\frac{[bk+(bk-b)]h}{2}}{\frac{bh}{2}}[/tex]=[tex]\frac{2bk-b}{b}[/tex]=[tex]\frac{b(2k-1)}{b}[/tex]=[tex]\frac{2k-1}{1}[/tex]

[ptj]

Прекалено сложни обяснения. Триъгълника, трапеца и успоредника имат обща височина.
Нека съответните им лица са [tex]S_1+S_2=S[/tex].

[tex]S_1:S_2=S_1:(S-S_1)=\frac{a}{2}:(b-\frac{a}{2})=\frac{1}{2}:(k-\frac{1}{2})=1:(2k-1)[/tex]