Намерете MN

[moni2003petrova]

Диагоналите на равнобедрен трапец ABCD са взаимно перпендикулярни и се пресичат в точката О. През О е прекарана права, перпендикулярна на ВС, която пресича бедрата AD и BC съответно в точките М и N. Намерете MN, ако АВ= а и CD=b.

[Knowledge Greedy]

Равнобедреният трапец.png (7.15 KiB) Прегледано 421 пъти

В [tex]\triangle BCO[/tex] отсечката [tex]ON[/tex] e височина, а в [tex]\triangle ADO[/tex] отсечката [tex]OM[/tex] e медиана (Доказателството е достъпно - с материал за 7-ми и 8-ми клас.).
И тъй като двата споменати триъгълници са еднакви, търсим сбора на височината (към хипотенузата) и медианата (към хипотенузата) на един правоъгълен триъгълник с катети [tex]x=a/\sqrt{2}[/tex] и [tex]y=b/\sqrt{2}[/tex]
Ето детайлите.
[tex]S_{\triangle BCO}=\frac{xy}{2}=\frac{ab}{4}[/tex]

[tex]ON=\frac{2S_{\triangle BCO}}{BC}=\frac{ab}{2\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

[tex]OM=\frac{1}{2}BC=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\sqrt {\frac{a^2+b^2}{2}}[/tex]
и т.н.