успоредник

[Grishooo]

Средите на страните АВ, ВС, СД, DA на успоредника АВСД са съответно Л, М,Н и Р. Докажете че четириъгълника ЛМНР е успоредник. Лицата на успоредниците ЛМНР и АВСД се отнасят както 1:2

[Сийка]

Нека точките M, N, P и Q са средите на страните AB, BC, CD и AD на четириъгълника ABCD.
PQ е средна отсечка в ΔACD, т.е. PQ || AC и PQ = 1/2AC.
Аналогично от ΔMN е средна отсечка в ΔABC, т.е. MN = AC.
Аналогично от ΔDBC получаваме PN = 1/2 BD. ABC получаваме MN || AC и MN = 1/2 AC.

Това означава, че PQ || MN и PQ = MN, т.е. MNPQ – успоредник. MNPQ е успоредник и MN = AC.
По аналогичен начин доказваме, че PN = BD.
MNPQ – успоредник COF = MNP = α. чертеж не мога да направя да пратя
Използваме теорема за съседни ъгли:
α + φ = 180° α = 180° – φ.
Използваме формула: S = a.ha = b.hb = a.b.sin α = =1/2 d1.d2.sin φ, за успоредника MNPQ
SMNPQ = MN.PN.sin α = 1/2*1/2 *AC.BD.sin (180° – φ) = 1/4BD.AC.sin φ = 1/ 2 * SABCD
SABCD = 2 SMNPQ.