Връзка между периметрите на подобни фигури

[Меди]

Периметърът на успоредник е $96$ $cm$. Всеки от диагоналите му е разделен на три равни части. Да се намери периметърът на четириъгълника, който има за върхове точките на деление.

Скрит текст: покажи

Връзка между периметрите на подобни фигури.png (77.67 KiB) Прегледано 480 пъти

Това е първата задачa за подобни четириъгълници, която решавам. От това, което прочетох - за подобните четириъгълници знаем, че имат пропорционални страни и равни ъгли. Нека разгледаме два успоредника - първи и втори. Нека диагоналите на втория са 3 пъти по-малки от диагоналите на първия. От това не мисля, че следва подобието на двата успоредника в общия случай. В конкретната задача как доказваме, че успоредниците $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ са подобни? И щом $A_1C_1=\dfrac{1}{3}AC$, то $P_1=\dfrac{1}{3}P$.

[KOPMOPAH]

Връзка между периметрите на подобни фигури.png (7.94 KiB) Прегледано 457 пъти

Да допуснем, че диагоналите се пресичат в т.$O$.
Тогава $OA_1=\frac 12 A_1C_1=\frac 13 OA$, $OB_1=\frac 13OB$, ъгълът $\measuredangle AOB$ е общ, $\Rightarrow \triangle AOB \approx \triangle A_1OB_1$ по първи признак с коефициент на подобие $3$ и $A_1B_1||AB$. По същия начин и за останалите страни. От успоредността на страните следва, че и ъглите между тях са равни на съответните ъгли от големия успоредник.

[vezni]

В общия случай два многоъгълника са подобни, когато имат равни ъгли и съответните страни са пропорционални. Това е самото определие за подобие. Не е достатъчно да се знае, че ъглите им са равни, и не е достатъчно страните им да са пропорционални. За конкретни фигури обаче необходимото за доказване може да е по-малко. Например за ромб: достатъчно е ъгъл на единия да е равен на ъгъл от другия.

[Меди]

Връзка между периметрите на подобни фигури.png

Да допуснем, че диагоналите се пресичат в т.$O$.
Тогава $OA_1=\frac 12 A_1C_1=\frac 13 OA$, $OB_1=\frac 13OB$, ъгълът $\measuredangle AOB$ е общ, $\Rightarrow \triangle AOB \approx \triangle A_1OB_1$ по първи признак с коефициент на подобие $3$ и $A_1B_1||AB$. По същия начин и за останалите страни. От успоредността на страните следва, че и ъглите между тях са равни на съответните ъгли от големия успоредник.

Използвайки това, че $OA_1=\dfrac{1}{2}A_1C_1$, не допускаме ли, че фигурата $A_1B_1C_1D_1$ е успоредник и диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка $(O)$? Нали това се стремим да докажем.

[KOPMOPAH]

...Използвайки това, че $OA_1=\dfrac{1}{2}A_1C_1$, не допускаме ли, че фигурата $A_1B_1C_1D_1$ е успоредник и диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка $(O)$? Нали това се стремим да докажем.

Правилна забележка! По коректно би било да се напише:$$OA=\frac 12 AC, AA_1=\frac 13 AC \Rightarrow OA_1= \left(\frac 12 - \frac 13 \right)AC=\frac 16 AC, OC_1=...\frac 16 AC$$По същия начин$$OB_1=\frac 16 BD,OD_1=\frac 16 BD$$и от взаимно разполовяващите се диагонали правим извода, че $A_1B_1C_1D_1$ е успоредник, а нататък разглеждаме подобията.

[Меди]

...Използвайки това, че $OA_1=\dfrac{1}{2}A_1C_1$, не допускаме ли, че фигурата $A_1B_1C_1D_1$ е успоредник и диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка $(O)$? Нали това се стремим да докажем.

Правилна забележка! По коректно би било да се напише:$$OA=\frac 12 AC, AA_1=\frac 13 AC \Rightarrow OA_1= \left(\frac 12 - \frac 13 \right)AC=\frac 16 AC, OC_1=...\frac 16 AC$$По същия начин$$OB_1=\frac 16 BD,OD_1=\frac 16 BD$$и от взаимно разполовяващите се диагонали правим извода, че $A_1B_1C_1D_1$ е успоредник, а нататък разглеждаме подобията.

Супер! Бях забравил, че четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник и не се сетих да го приложа в тази задача. Може ли да попитам дали във всички подобни успоредници диагоналите се отнасят както съответните страни, периметри и т.н.? Изглежда в задачата да е в сила, защото $P_{A_1B_1C_1D_1}=32$ $cm$.

[KOPMOPAH]

...Може ли да попитам дали във всички подобни успоредници диагоналите се отнасят както съответните страни, периметри и т.н.? ...

Въобще може да се формулира по-общото твърдение (ако го няма като основна задача или теорема в материала, който изучавате):

На подобните фигури в равнината или тела в пространството с коефициент на пропорционалност $k$ отношението на:

- съответните линейни елементи е равно на $k$;
- съответните повърхнини или площи е равно на $k^2$;
- съответните обеми е равно на $k^3$.

Дано под някаква форма това е залегнало в учебния материал.

[Меди]

...Може ли да попитам дали във всички подобни успоредници диагоналите се отнасят както съответните страни, периметри и т.н.? ...

Въобще може да се формулира по-общото твърдение (ако го няма като основна задача или теорема в материала, който изучавате):

На подобните фигури в равнината или тела в пространството с коефициент на пропорционалност $k$ отношението на:

- съответните линейни елементи е равно на $k$;
- съответните повърхнини или площи е равно на $k^2$;
- съответните обеми е равно на $k^3$.

Дано под някаква форма това е залегнало в учебния материал.

В учебника, по който работим в училище - математика за 9. клас на Иван Тонов и колектив (Регалия), изобщо не се споменава за подобни четириъгълници. Не можах да намеря теория за тях и в алтернативните учебници. Просто видях, че масата от задачи в раздела "Подобни фигури. Връзка между лицата на подобните многоъгълници." от сборника на К. Коларов ги използва, а когато имам време решавам задачите от този сборник.