Бедра на трапец

[Гост]

Даден е трапец като основите му са 9 и 4 см а единия му диагонал е 6 см, като разликата между бедрата му е 2.5 см. Да се намерят бедрата?

[S.B.]

Даден е трапец като основите му са 9 и 4 см а единия му диагонал е 6 см, като разликата между бедрата му е 2.5 см. Да се намерят бедрата?

Без заглавие - 2020-08-05T135238.480.png (248.9 KiB) Прегледано 474 пъти

[tex]\angle DCA = \angle CAB = \alpha[/tex] (като кръстни ъгли)
За $\triangle ACD$ прилагам Косинусова теорема:
$AD^{2} = AC^{2} + DC^{2} - 2.AD.DC.cos\alpha \Leftrightarrow x^{2} = 4^{2} + 6^{2} - 2.4.6.cos\alpha \Rightarrow cos\alpha = \frac{x^{2} - 52}{-2.4.6}$

За $\triangle ABC$ прилагам Косинусова теорема:
$BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} - 2.AC.AB.cos\alpha \Leftrightarrow (2,5+x)^{2} = 6^{2} + 9^{2} - 2.6.9.cos\alpha\Rightarrow cos\alpha = \frac{(2,5+x)^{2} - 117}{-2.9.6}$

Приравнявам:
$\frac{x^{2} - 52}{-2.4.6} = \frac{(2,5+x)^{2}}{- 2.9.6} \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 52}{4} = \frac{(2,5+x)^{2} - 117}{9} \Leftrightarrow 9(x^{2} - 52) = 4[(2,5+x)^{2} - 117]$

$9x^{2} - [2(2,5+x)^{2} = 9.52 - 4.117 \Leftrightarrow (3x)^{2} - (2x+5)^{2} = 0$

$(3x - 2x -5)(3x + 2x +5) = 0 \Leftrightarrow (x-5)(5x+5) = 0$

$x - 5 = 0 \cup 5x+ 5 = 0$

$x_{1 } = 5 , x_{2 } = -1 < 0 $

$\Rightarrow x = 5 \Rightarrow AD = 5 , BC = 2,5 + 5 = 7,5$

[Гост]

Извинявам се много за неуточнението но задачата е за 9 клас, а още не сме изучавали косинусова теорема.

[S.B.]

Извинявам се много за неуточнението но задачата е за 9 клас, а още не сме изучавали косинусова теорема.

Бихте ли споделили от къде е взета задачата?Името на сборника,авторите и т.н.?

[Гост]

Поради карантината госпожата ни по мат ни снима задачи от различни сборници и ни ги прати като word файл, така че не мога да ти отговоря!

[S.B.]

Извинявам се много за неуточнението но задачата е за 9 клас, а още не сме изучавали косинусова теорема.

Без заглавие - 2020-08-05T135238.480.png (248.9 KiB) Прегледано 431 пъти

[tex]\triangle ACD\approx \triangle ABC[/tex] (по втори признак)
$\frac{CD}{AC} = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{AD}{BC} = \frac{2}{3} \Rightarrow\frac{x}{x + 2,5} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 5$
$AD = 5 , BC = 7,5$