Интересна задача за квадрат

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник АВС, като върху хипотенузата му е построен квадрат външно от триъгълника с център точка О, като е известно че AC + BC = m, да се намери колко е CO със знания до 9 клас. Искрено ще съм благодарен ако някой ми помогне!

[pal702004]

Не знам в кой клас се учи косинусовата теорема, с нейна помощ получавам $CO=\dfrac{m\sqrt 2}{2}$

[Гост]

Ами не се учи в 9ти, така че ако някой има друго решение със знания до 9 клас ще съм благодарен!

[pal702004]

СО е полудиагонал на квадрат със страна $a+b$ (ако катетите са $a$ и $b$)

Откъдето и $CO=\dfrac{a+b}{\sqrt 2}=\frac{m\sqrt 2}{2}$

[Гост]

Искам да питам само как да докажа че фигурата със страна [tex]а + b[/tex] е квадрат а не правоъгълник, тъй като ние построяваме четириъгълник с перпендикулярни страни но няма как да кажем че съседните му страни са равни.

[pal702004]

Искам да питам само как да докажа че фигурата със страна [tex]а + b[/tex] е квадрат а не правоъгълник, тъй като ние построяваме четириъгълник с перпендикулярни страни но няма как да кажем че съседните му страни са равни.

Не, ние построяваме първо квадрат със страна $a+b$
След това в него вписваме, както е показано на рисунката, квадрат със страна $\sqrt{a^2+b^2}$, и получаваме 4 правоъгълни триъгълника с катети $a,b$
Показваме, че един от тези триъгълници, заедно с малкия (незащрихован) квадрат описват напълно условието на задачата.
Доказваме, че центъра на малкия квадрат е и център на големия. Тоест $CO$ е полудиагонал.
(с последното справяш ли се?)

[Гост]

Ама последователността на задачата, която представих е обратната там по условие имаме [tex]\triangleАВС[/tex] и квадрат със страна неговата хипотенуза и точка О е център на неговите диагонали. Чак после като решение вече можем да построим най-големия квадрат със страна [tex]а+b[/tex]. Извинявай ако разсъжденията ми са грешни.

[S.B.]

Даден е правоъгълен триъгълник АВС, като върху хипотенузата му е построен квадрат външно от триъгълника с център точка О, като е известно че AC + BC = m, да се намери колко е CO със знания до 9 клас. Искрено ще съм благодарен ако някой ми помогне!

Без заглавие - 2020-08-07T165922.081.png (344.5 KiB) Прегледано 1036 пъти

Построявам правоъгълния [tex]\triangle ABC ,\angle C = 90^\circ ,AC = a , BC = b , a + b = m[/tex]
Хипотенузата $AB$ се вижда под ъгъл $90^\circ \rightarrow AB$ е диаметър на окръжност $k(O_{1 } , 2r = AB)$
Построявам квадрата $ABQB , AQ \cap BO = O$ Точката $O \in k$ също,понеже $\angle AOB = 90^\circ$
$\angle ACO =\displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{AO}}{2} = 45^\circ , \angle ACB = 90^\circ \Rightarrow CO$ е ъглополовяща.
$MO\bot AC , NO\bot BC \Rightarrow MO = NO$ защото $O\in$ ъглополовящата.
Фигурата $MONC$ е квадрат ,защото има 3 прави ъгъла и съседни равни страни ($MO= NO$)
$OO_{1 }$ е симетрала на $AB$ и $AO = BO$
Тогава $\triangle MAO \cong \triangle NBO$ ( по катет и хипотенуза)
$\Rightarrow AM = BN = x$
$MC = NC \Rightarrow a + x = b - x \Leftrightarrow x = \frac{b-a}{2}$
Тогава страната на квадрата $MONC$ е $a + x = a + \frac{b - a}{2} = \frac{a + b}{2} = \frac{m}{2}$
От $\triangle MOC \rightarrow OC^{2} = MO^{2} + MC^{2}\Leftrightarrow OC = \sqrt{2\frac{m^{2}}{4}}\Rightarrow OC = \frac{m\sqrt{2}}{2}$

Скрит текст: покажи

Задачата е решена със знания на 7,8 и 9 клас

[math10.com]

pr.t..png (43.04 KiB) Прегледано 927 пъти

[tex]AD \bot CO ; D\in CO ; BE \bot CO ; E\in CO[/tex]
[tex]\triangle ADO \cong \triangle OEB[/tex] по първи признак
[tex]OE=AD ; OD=BE[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle ACD ; \triangle BCE[/tex] са правоъгълни равнобедрени
[tex]\Rightarrow CO=OD+CD[/tex]
Прилагаме Питагорова теорема за [tex]\triangle ACD[/tex] и [tex]\triangle BCE[/tex]
[tex]\Rightarrow AD=CD=\frac{AC}{ \sqrt{2}} ; BE=CE=\frac{BC}{ \sqrt{2}} \Rightarrow CO=\frac{AC}{ \sqrt{2}}+\frac{BC}{ \sqrt{2}} =\frac{m}{\sqrt{2}}=\frac {m\sqrt{2}}{2}[/tex]

[Гост]

Задачата излиза на няколко реда, ако се приложи теорема на Птолемей за вписаният в окръжност четириъгълник [tex]AOCB[/tex]. Не знам в кой клас се учи.

[Гост]

Задачата излиза на няколко реда, ако се приложи теорема на Птолемей за вписаният в окръжност четириъгълник [tex]AOCB[/tex]. Не знам в кой клас се учи.

Въобще не се изучава в масовите училища