Ромб 9 клас

[Гост]

Даден е ромб АВСD като върху продължението на страната АВ е избрана точка М така че МС = MD, като В е между А и М. Тангенсът на ъгъл МDC е 8/5. Да се намери отношението МА/МВ?

[Davids]

Получих 11:1. Това ли е отговорът или бъркам сметките?

[Гост]

Да
Толкова е .Как го получи ?
Може ли да кажеш

[Davids]

Само имам малки съмнения, че не е точно с материал за 9. клас, но предвид дадения тангенс... не знам

Romb.png (19.9 KiB) Прегледано 449 пъти

Понеже имаме даден тангенс на ъгъла $\varphi$, можем да намерим всички негови тригонометрични функции предвид факта, че е остър. За улеснение в началото ще работим само с ъгъла без да заместваме стойности.
Двете сини пунктирани отсечки съм означил с $l$. По определение за косинус от $\triangle DMH$ имаме $cos\varphi = \frac{DH}{DM} = \frac{a}{2l} \Rightarrow l = \frac{a}{2cos\varphi}$
Остана една косинусова теорема за $\triangle AMD$:
$a^2 = l^2 + (a+x)^2 - 2l(a+x)cos\varphi$
$\cancel{a^2} = \frac{a^2}{4cos^2\varphi} + \cancel{a^2} + 2ax + x^2 - \cancel{2}.\frac{a}{\cancel{2cos\varphi}}.\cancel{cos\varphi}(a+x)$
$\Rightarrow \frac{a^2}{4cos^2\varphi} + 2ax + x^2 - a^2 - ax = 0$
$a^2(\frac{1}{4cos^2\varphi} - 1) + ax + x^2 = 0$

Получихме хомогенно уравнение за $a$ и $x$, което обаче много ни радва, понеже търсеното отношение $\frac{MA}{MB} = \frac{a + x}{x} = 1 + \frac{a}{x}$. Тогава, както си знаем, делим двете страни на уравнението на $x^2$, полагаме $t = \frac{a}{x}$ и получаваме:
$t^2(\frac{1}{4cos^2\varphi} - 1) + t + 1 = 0$

Остана да пресметнем $\frac{1}{4cos^2\varphi} - 1$. Имаме $tg\varphi = \frac{8}{5} \Rightarrow cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{89}}$. Тогава $\frac{1}{4cos^2\varphi} - 1 = \frac{1}{4.\frac{25}{89}} - 1 = \frac{89}{100} - 1 = -\frac{11}{100}$

Значи имаме да решим само за положителни корени уравнението:
$-\frac{11}{100}t^2 + t + 1 = 0$

Единствен положителен корен е $t = \frac{a}{x} = 10$, от което следва, че търсеното отношение е $1 + \frac{a}{x} = 11$.

[Гост]

Има ли как да заместиш косинусовата теорема с нещо което се учи в по малките класове?

[Davids]

Има ли как да заместиш косинусовата теорема с нещо което се учи в по малките класове?

Може, разбира се. Гледаме горния чертеж. Спускаме височината на ромба $DD_1\bot AB,~ D_1 \in AB$. По определение за тангенс имаме $h = DD_1 = \frac{4}{5}a$, а пък $AD_1 = \frac{a}{2} + x$.

Една питагорова теорема в $\triangle AD_1D$ ни праща директно към същото хомогенно уравнение, откъдето и отговорите.