Правоъгълен трапец 9 клас

[Гост]

Даден е правоъгълен трапец АВСD като АВ [tex]\bot[/tex] АD и [tex]\angle АВС = \alpha[/tex]. Лицето на трапеца е S, а АВ = АС. Да се намери височината на трапеца? Отговор: [tex]\sqrt{2Scotg\alpha}[/tex]

[Davids]

Спускаме $CH \bot AB, H \in AB$.
По определение за котангенс имаме $cotg\alpha = \frac{a-b} {h} \Rightarrow a - b = hcotg\alpha (1)$.
По формулата за лице на трапец имаме $h = \frac{2S}{a+b} (2)$.
По питагорова теорема от $\triangle ACD$ имаме $h^2 = a^2 - b^2 = (a+b) (a-b) \Rightarrow a + b = \frac{h^2}{a-b} (3)$.

Заместваме (1) в (3) и после (3) в (2) и получаваме отговора.