В окръжност с център О и радиус 1 е вписан четириъгълник ABC

[skadevil]

В окръжност с център О и радиус 1 е вписан четириъгълник ABCD c взаимно перпендикулярни диагонали.
а) Да се пресметне сумата от квадратите на страните на четириъгълника.
б) Ако в четириъгълника може да се впише окръжност, чийто център е I и OI =1/[tex]\sqrt{3}[/tex], да се намери лицето на четириъгълника.

[Гост]

За a) би могло да се ползва, че сборът от квадратите на 2 срещуположни страни е равен на [tex]4R^2[/tex].
За b) би могла да се полезна теорема на Фус, твърдението за решение на а). Други полезни твърдения са, че в описан 4-ъгълник сборът на срещуположните страни е равен. И да не забравим формулата за лице S=|(ac-bd)tg(ъгълът между диагоналите)|/2.

[skadevil]

За a) би могло да се ползва, че сборът от квадратите на 2 срещуположни страни е равен на [tex]4R^2[/tex].
За b) би могла да се полезна теорема на Фус, твърдението за решение на а). Други полезни твърдения са, че в описан 4-ъгълник сборът на срещуположните страни е равен. И да не забравим формулата за лице S=|(ac-bd)tg(ъгълът между диагоналите)|/2.

Благодаря ти много за насоките! Ще видя какво ще измисля

[Евва]

а) Нека АС пресича BD в точка М . R=1, AB=a, BC=d, CD=b, AD=c, [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\alpha[/tex]

[tex]c^{2}[/tex]+[tex]d^{2}[/tex]=[tex]AM^{2}[/tex]+[tex]DM^{2}[/tex]+[tex]CM^{2}[/tex]+[tex]BM^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]

Тогава търсим 2([tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex])=

([tex]\triangle[/tex]ABD) [tex]\frac{a}{sin\alpha}[/tex]=2R ; ([tex]\triangle[/tex]ACD) [tex]\frac{b}{sin(90^\circ-\alpha)}[/tex]=2R

a=2sin[tex]\alpha[/tex] ,b=2cos[tex]\alpha[/tex]

2([tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex])=2(4[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+4[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex])=2.4([tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex])=2.4.1=8

[skadevil]

а) Нека АС пресича BD в точка М . R=1, AB=a, BC=d, CD=b, AD=c, [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\alpha[/tex]

[tex]c^{2}[/tex]+[tex]d^{2}[/tex]=[tex]AM^{2}[/tex]+[tex]DM^{2}[/tex]+[tex]CM^{2}[/tex]+[tex]BM^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]

Тогава търсим 2([tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex])=

([tex]\triangle[/tex]ABD) [tex]\frac{a}{sin\alpha}[/tex]=2R ; ([tex]\triangle[/tex]ACD) [tex]\frac{b}{sin(90^\circ-\alpha)}[/tex]=2R

a=2sin[tex]\alpha[/tex] ,b=2cos[tex]\alpha[/tex]

2([tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex])=2(4[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+4[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex])=2.4([tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex])=2.4.1=8

Благодаря много!

[skadevil]

За a) би могло да се ползва, че сборът от квадратите на 2 срещуположни страни е равен на [tex]4R^2[/tex].
За b) би могла да се полезна теорема на Фус, твърдението за решение на а). Други полезни твърдения са, че в описан 4-ъгълник сборът на срещуположните страни е равен. И да не забравим формулата за лице S=|(ac-bd)tg(ъгълът между диагоналите)|/2.

S=|(ac-bd)tg(ъгълът между диагоналите)|/2 не трябва ли да е sin (ъгълът между диагоналите)

[skadevil]

За б) измислих само това S=(AB)^2 не знам дали е вярно

[Евва]

б) Според твоите изчисления ABCD е квадрат .Но тогава OI=0 .
Противоречи с даденото OI=1/[tex]\sqrt{3}[/tex] .

[skadevil]

б) Според твоите изчисления ABCD е квадрат .Но тогава OI=0 .
Противоречи с даденото OI=1/[tex]\sqrt{3}[/tex] .

Да и аз това забелязах

[Гост]

За a) би могло да се ползва, че сборът от квадратите на 2 срещуположни страни е равен на [tex]4R^2[/tex].
За b) би могла да се полезна теорема на Фус, твърдението за решение на а). Други полезни твърдения са, че в описан 4-ъгълник сборът на срещуположните страни е равен. И да не забравим формулата за лице S=|(ac-bd)tg(ъгълът между диагоналите)|/2.

S=|(ac-bd)tg(ъгълът между диагоналите)|/2 не трябва ли да е sin (ъгълът между диагоналите)

Тангенс е, но в случая на перпендикулярни диагонали не може да се ползва.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tangentia ... Durell_7-2 . Като имам време ще помисля и ще дам по-пълни насоки.

[Гост]

Помислих

За б)

След като е дадено разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност и радиусът на вписаната окръжност имаме теорема на Фус: https://www.cut-the-knot.org/Curriculum ... xplanation от нея може да се намери радиусът на вписаната окръжност.

Сега имаме радиуса на вписаната и радиуса описаната окръжност. Освен това знаем, че ъгълът между диагоналите е прав. Следователно може да ползваме формулата за лице по дадени радиус на вписаната окръжност, радиус на описаната окръжност от тук: https://en.wikipedia.org/wiki/Bicentric_quadrilateral (Търси текст: "The area is given in terms of the circumradius R and the inradius r as").

[S.B.]

В окръжност с център О и радиус 1 е вписан четириъгълник ABCD c взаимно перпендикулярни диагонали.
а) Да се пресметне сумата от квадратите на страните на четириъгълника.
б) Ако в четириъгълника може да се впише окръжност, чийто център е I и OI =1/[tex]\sqrt{3}[/tex], да се намери лицето на четириъгълника.

Моето виждане е,че не е необходим чертеж,тъй като задачата се решава чисто алгебрично:
Ще използвам резултата получен от колежката Евва в а):
Нека
$AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC = d_{1 } ,BD = d_{2 }$

[tex]a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 8 \Leftrightarrow (a^{2} + c^{2}) + (b^{2} + d^{2}) = 8 \Leftrightarrow[/tex]
$(a + c)^{2} - 2ac + (b + d)^{2} - 2bd = 8 \Leftrightarrow (a + c)^{2} + (b + d)^{2} - 2(ac + bd) = 8$
Но $a + c = b + d = p $ защото в четириъгълника може да се впише окръжност , а според Птоломей $ac + bd = d_{1 }.d_{2 }$
Тогава получаваме $2p^{2} - 2d_{1 }d_{2 } = 8 \Leftrightarrow p^{2} - d_{1 }d_{2 } = 4$
От $ S = pr \rightarrow S^{2} = p^{2}r^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{S^{2}}{r^{2}}$
От $ S = \frac{d_{1 }d_{2 }}{2}.sin90^\circ \Rightarrow d_{1 }d_{2 } = 2S$
Тогава : $p^{2} - d_{1 }d_{2 } =4 \Leftrightarrow \frac{S^{2}}{r^{2}} - 2S - 4 = 0 \Leftrightarrow S^{2} - 2r^{2}.S - 4r^{2} = 0$
От теоремата на Фус имаш:
$\frac{1}{r^{2}} = \frac{1}{(R + d_{o })^{2}} + \frac{1}{(R - d_{o })^{2}}$, където по условие $R = 1 ,OI = d_{o } = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle\frac{1}{r^{2}} = \displaystyle\frac{1}{(1 + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}} + \displaystyle\frac{1}{(1 - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}$
$\frac{1}{r^{2}} = \frac{3}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{3}{4 - 2\sqrt{3}} = 3(\frac{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3})}{16 - 12} = 3.\frac{8}{4} = 6$
$\frac{1}{r^{2}} = 6 \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{6}$
Тогава уравнението $S^{2} -2r^{2}S -4r^{2} = 0 \Leftrightarrow S^{2} -2.\frac{1}{6}S - 4.\frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow$
$3S^{2} - S - 2 = 0 , D = 25 , S_{1,2 } = \frac{1\pm 5}{6}$
$S_{2 } < 0 , S_{1 } = \frac{1 + 5}{6} = 1$