Правоъгълник ABCD

[Милица Петрова]

Ъглополовящата на ъгъл А на правоъгълник ABCD пресича диагонала BD=30 см в точка Р и го разделя на части BP:PD=2:1. Страните на правоъгълника са?

[S.B.]

Ъглополовящата на ъгъл А на правоъгълник ABCD пресича диагонала BD=30 см в точка Р и го разделя на части BP:PD=2:1. Страните на правоъгълника са?

Без заглавие - 2020-11-17T094741.687.png (184.93 KiB) Прегледано 800 пъти

Ъглополовящата на [tex]\angle А[/tex] пресича $CD$ в т. $M$ и $BD$ в т. $P$ , като $BP : PD = 2 : 1\Rightarrow BP = 20,PD = 10$
$\triangle AMD$ е равнобедрен ,правоъгълен , $AD = DM = x$
Построявам ъглополовящата на $\angle C$, която пресича $AB$ в т.$N$ и $BD$ в т.$Q$
$\triangle NBC$ е равнобедрен и правоъгълен $\Rightarrow BN = BC = x$
$AM || NC$ защото $\angle PAN = \angle QNB = 45^\circ$ (съответни ъгли )
$\triangle BQC \cong \triangle APD$ защото $AD = BC , \angle BCQ = \angle DAP = 45^\circ,\angle CQB = \angle DPA$ (външни кръстни)
$\Rightarrow BQ = DP = 10 \Rightarrow$ т.$Q$ е среда на $BP$
От $Q$ среда на $BP$ и $QN || AP \rightarrow N$ е среда на $AB \Rightarrow AN = NB = x$
За $\triangle ABD$ получихме $AB = 2x , AD = x ,BD = 30$
По Питагор :$ BD^{2} = AB^{2} + AD^{2} \Leftrightarrow 5x^{2} = 900 \Rightarrow x = 6\sqrt{5}$
Страните на правоъгълника са :$$AB = CD = 12\sqrt{5} , AD = BC = 6\sqrt{5}$$