Решаване на успоредник задача 11 клас

[xIskren]

Намерете лицето на ромб с остър ъгъл 60° и сбор от дъжлините на диагоналите k.

[Евва]

ABCD-ромб,[tex]\angle[/tex]DAB=60[tex]^\circ[/tex],[tex]d_{1 }[/tex]+[tex]d_{2 }[/tex]=k
Нека диагоналите се пресичат в точка О.
[tex]S_{ABCD }[/tex]=?

ABCD е ромб [tex]\Rightarrow[/tex] AB=AD=a ,значи [tex]\triangle[/tex]ABD е равнобедрен с ъгъл при върха [tex]\angle[/tex]BAD=60[tex]^\circ[/tex]
Тогава [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]BDA=60[tex]^\circ[/tex] ; Доказахме ,че [tex]\triangle[/tex]ABD е равностранен (1)

АО се явява височина в равностранния [tex]\triangle[/tex]ABD ,значи АО=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]d_{2 }[/tex]=AC=2AO=a[tex]\sqrt{3}[/tex] т.е. [tex]d_{2 }[/tex]=a[tex]\sqrt{3}[/tex] (2)
От (1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]d_{1 }[/tex]=BD=AB=a ;[tex]d_{1 }[/tex]=a(3)
Дадено е [tex]d_{1 }[/tex]+[tex]d_{2 }[/tex]=k ; a+a[tex]\sqrt{3}[/tex]=k ;a=[tex]\frac{k}{\sqrt{3}+1}[/tex].[tex]\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a=[tex]\frac{к(\sqrt{3}-1)}{2}[/tex] (4)

S=a.a.sin60[tex]^\circ[/tex]=[[tex]\frac{k(\sqrt{3}-1)}{2}]^{2}[/tex].[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]= ...

Скрит текст: покажи

Нататък е лесно ,получих отговор [tex]\frac{(2\sqrt{3}-3)к^{2}}{4}[/tex] .