Четириъгълник и трапец

[Гост]

1. Диагоналите на четириъгълника ABCD са AC=корен от 8 и BD=корен от 12. Известно е, че AC е перпендикулярна на BD. Тогава лицето на четириъгълника е равно на?

2. В равнобедрения трапец ABCD малката основа е b, а ъгъл ACD е равен на алфа и ъгъл DAC е равен на бета. Диагоналът AC е равен на?

[Гост]

1.[tex]S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}=\frac{\sqrt{8}.\sqrt{12}}{2}=2\sqrt{6}[/tex]

2.Прилагаш синусова теорема за [tex]\triangle ACD \Rightarrow \frac{AC}{sin \angle ADC}=\frac{CD}{sin \angle CAD}[/tex]

[tex]\angle ADC =180^\circ-(\alpha+\beta) \Rightarrow \frac{AC}{sin (180^\circ-(\alpha+\beta))}=\frac{b}{sin \beta} \Rightarrow AC=\frac{b.sin (\alpha+\beta)}{sin \beta}[/tex]

[Евва]

1 зад. Нека АС пресича BD в т.О .
[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{ABO }[/tex]+[tex]S_{BOC }[/tex]+[tex]S_{OCD }[/tex]+[tex]S_{AOD }[/tex]=

=([tex]\frac{AO.BO}{2}[/tex]+[tex]\frac{BO.CO}{2}[/tex]) +([tex]\frac{CO.DO}{2}[/tex]+[tex]\frac{AO.DO}{2}[/tex])=

=[tex]\frac{BO}{2}[/tex](AO+CO)+[tex]\frac{DO}{2}[/tex](CO+AO)=

=[tex]\frac{BO}{2}[/tex].AC+[tex]\frac{DO}{2}[/tex].AC=

=AC([tex]\frac{BO}{2}[/tex]+[tex]\frac{DO}{2}[/tex])=[tex]\frac{AC.BD}{2}[/tex]

Доказахме,че лице на четириъгълник ABCD с взаимноперпендикулярни диагонали е [tex]\frac{AC.BD}{2}[/tex] .

Гост лесно ще завърши решението .