Четириъгълник вписан в окръжност, отношения

[Гост]

Опитахх се да ползвам косинусова и после да я преравня но се получават огромни стойности и няма как да съм на прав път. Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Четириъгълник, вписан в окръжност.png (12.27 KiB) Прегледано 343 пъти

Отбелязваме $DE$ с $p$, $BC$ с $2p$, $CE$ с $2q$ и $AD$ със $7q$.

От свойството на секущите имаме $$DE.AE=CE.BE \Rightarrow p(p+7q)=2q(2q+2p)$$ $$p^2+7pq=4q^2+4pq$$След преработка получаваме уравнението $$4q^2-3pq-p^2=0$$Делим на $p^2$ и полагаме $t=\frac qp$, тогава се стига до $$4t^2-3t-1=0$$Последното уравнение има корени $t_1=1$ и $t_2=-\frac 14$. Естествено, отрицателният корен отпада и окончателно $t=1\Rightarrow p=q$. Доколкото няма никакъв линеен размер можем да приемем $p=q=1$. Значи $DE=1$, $BC=2$, $CE=2$ и $AD=7$.

Косинусова теорема за $\triangle ABE$ ни дава $$AB^2=AE^2+BE^2-2AE.BE.\cos \varphi$$ $$AB^2=8^2+4^2-2.8.4.\frac 78 \Rightarrow AB^2=24$$
Отново прилагаме косинусова теорема за $\triangle ABE$, но с използване на $\measuredangle ABE=\beta$ $$AE^2=AB^2+BE^2-2.AB.BE.\cos \beta$$ $$8^2=24+16-2.\sqrt{24}.4.\cos \beta$$ След преработка на последния израз получаваме$$\cos \beta=-\frac{\sqrt 6}8$$