Успоредник с ъгъл 45

[Гост]

Не мога даже да построя правилен чертеж, поради условието, че 2BF = 3BE

[KOPMOPAH]

Успоредник с ъгъл 45.png (9.3 KiB) Прегледано 385 пъти

Ето как изглежда този успоредник.

[KOPMOPAH]

Отбелязваме $BC$ с $a$

От условието следва, че $BF=\frac 32BE$. Ако отбележим $EF$ с $x$, то $BE=2x$ и $BF=3x$.

От еднаквостта на триъгълниците $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$ по втори признак следва, че $AE=CF$.

От Питагорова теорема за $\triangle ABE$ имаме $$AE^2=4-4x^2,$$а от Питагорова теорема за $\triangle BCF$ имаме $$CF^2=a^2-9x^2$$Приравнявайки $AE=CF$, получаваме $$4-4x^2=a^2-9x^2\Rightarrow 5x^2=a^2-4~~(1)$$

От Косинусова теорема за $\triangle ADB$ имаме $$25x^2=4+a^2-2.2.a.\cos 45^\circ \Rightarrow 25x^2=4+a^2-2\sqrt 2 a~~(2)$$

От $(1)$ изразяваме $x^2$ и заместваме в $(2)$, като след преработка получаваме квадратното уравнение $$2a^2+\sqrt 2 a-12=0$$
То има положителен и отрицателен корен. Отрицателният не ни интересува, а положителният е $a=\frac{3\sqrt 2}2$.

Лицето на успоредника намираме по формулата $$S_{ABCD}=AB.AD.\sin BAD=2.\frac{3\sqrt 2}2.\frac{\sqrt 2}2=3$$

Скрит текст: покажи

Не изключвам вероятността за техническа грешка, но идеята е ясна