Описан трапец

[Гост]

Открих, че радиусът е 10, но от там не знам. Опитвах се да приравнявам теореми, за да намеря ъглите, но нищо не ми излезе.

[S.B.]

Открих, че радиусът е 10, но от там не знам. Опитвах се да приравнявам теореми, за да намеря ъглите, но нищо не ми излезе.

Без заглавие - 2021-09-04T134100.440.png (230.31 KiB) Прегледано 395 пъти

Трапецът е описан и равнобедрен [tex]\Rightarrow AD = BC = \frac{AB + CD}{2} = 25[/tex]
[tex]\triangle MQN[/tex] е равнобедрен (Оставям на теб удоволствието да го докажеш!)

[tex]S_{MQN } = \frac{MQ.NQ}{2}\sin \angle MQN[/tex]

[tex]\triangle BOC[/tex]:
Правоъгълен (Пробвай се да го докажеш!), $CN = CQ = 5, BN = BP = 20$(ЗАЩО?)
[tex]NO \bot BC, NO = r , r^{2 } = BN.CN \Leftrightarrow r^{2 } = 5.20 \Rightarrow r = 10[/tex]
За [tex]\triangle AHD , DH \bot AB , \frac{DH}{AD} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{2r}{AD}= \sin \alpha \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{20}{25} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5} ,\cos \alpha = \frac{3}{5}[/tex]
[tex]\angle D AB = \angle ABC = \alpha \Rightarrow \angle BCD = \angle CDA = 180 ^\circ - \alpha[/tex]
Около четириъгълника $QONC$ може да се опише окръжност (ЗАЩО?),[tex]\angle NCQ = 180 ^\circ - \alpha \Rightarrow \angle NOQ = \alpha[/tex]
За [tex]\triangle QON[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]QN^{2 } = ON^{2 }+ OQ^{2 } - 2.ON.OQ.\cos \alpha \Leftrightarrow[/tex]
[tex]QN^{2 } = 2 r^{2 }(1 - \cos \alpha) = 200(1 - \frac{3}{5}) \Rightarrow QN^{2 } = 80 \Rightarrow QN = 4 \sqrt{5}[/tex]
От [tex]\triangle OQN \rightarrow \angle QON = \alpha \Rightarrow \angle OQN = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
За [tex]\triangle MQN \rightarrow \angle OQN = 90 ^\circ - \alpha \Rightarrow \angle MQN = 180 ^\circ - 2\alpha[/tex]
[tex]S_{MQN } = \frac{MQ.NQ}{2}.\sin \angle NQM \Leftrightarrow S_{MQN } = \frac{4 \sqrt{5}.4 \sqrt{5} }{2}\sin(180 ^\circ - 2\alpha ) = \frac{80}{2}\sin 2\alpha = 40. 2\sin \alpha\cos \alpha \Rightarrow[/tex]
[tex]S_{MQN } = 40.2. \frac{4}{5}. \frac{3}{5} = 38,4[/tex]

[Евва]

Означих с т.[tex]Q_{1 }[/tex] средата на отсечката MN .
Получих MN= 16 см. и Q[tex]Q_{1 }[/tex]=4 см.
[tex]S_{MNQ }[/tex]=[tex]\frac{16.4}{2}[/tex]=32 [tex]см.^{2 }[/tex]

[S.B.]

Означих с т.[tex]Q_{1 }[/tex] средата на отсечката MN .
Получих MN= 16 см. и Q[tex]Q_{1 }[/tex]=4 см.
[tex]S_{MNQ }[/tex]=[tex]\frac{16.4}{2}[/tex]=32 [tex]см.^{2 }[/tex]

Да,така е,благодаря!
Грешката идва от [tex]\angle MQN[/tex]
[tex]\angle MQN = 180 ^\circ - \alpha ,[/tex] а не [tex]\angle MQN = 180 ^\circ - 2 \alpha[/tex]
Тогава [tex]S_{MQN } = \frac{80}{2}. \frac{4}{5} = 32[/tex]

[Евва]

( 2 начин )
Да построим права m ,която минава през т.М и m[tex]\bot[/tex]АВ .
Означаваме прес. точка на m и правата АВ с т.Р и прес. точка на m и правата CD с т.Е .
[tex]\triangle[/tex]APM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MDE (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{PM}{EM}[/tex]=[tex]\frac{AM}{DM}[/tex] ; [tex]\frac{PM}{EM}[/tex]=[tex]\frac{20}{5}[/tex]=4

PM=4EM ,също PM+EM=2r=20 тогава ЕМ=4 см. ,РМ=16 см.
[tex]\triangle[/tex]MDE -правоъгълен [tex]EM^{2 }[/tex]+[tex]DE^{2 }= MD^{2 }[/tex] ;16+[tex]DE^{2 }[/tex]=25 ; DE=3 см.
MN=CD+2DE=10+2.3=16 ;MN=16 см.

Точка [tex]Q_{1 }[/tex]-среда на отс.MN ,M[tex]Q_{1 }[/tex]QE е правоъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] Q[tex]Q_{1 }[/tex]=EM=4 см.
[tex]S_{MNQ }[/tex]=[tex]\frac{MN.Q Q_{1 } }{2}[/tex]=[tex]\frac{16.4}{2}[/tex]=32 [tex]см.^{2 }[/tex]