Решаване на Трапец(11. Клас)

[TIMBEN40]

IMG_20211219_142421.jpg (635.1 KiB) Прегледано 5767 пъти

Задача 2 : Точка M е средата на бедрото AD на трапеца ABCD (AB || CD). Aко лицето на трапеца е S, докажете, че лицето на триъгълник BCM= [tex]\frac{1}{2}[/tex] * S.

Задача 5. : Tрапецът ABCD има основи AB=9 и CD=1, диагонали AC=8 и BD=6, намерете лицето S на трапеца и големината на ъгъла φ между диагоналите му.

Задача 6 : Трапецът ABCD има основи AB=10, CD=3 и диагонали AC=12, BD=5. Намерете лицето S на трапеца и големината на ъгъла φ между диагоналите му.

Задача 7 : Трапецът ABCD има основи AB=8, CD=3 и бедра BC=9, AD=6. Намерете лицето S на трапеца.

Задача 8 : Трапецът ABCD има основи AB=30, CD=16 и бедра BC=13, AD=15. Намерете лицето S на трапеца.

[Евва]

7 зад.
22[tex]\sqrt{2}[/tex] ли е отговора ?

[nikola.topalov]

Във втора задача нека [tex]CM\cap AB=N[/tex]. Забелязваме, че [tex]NACD[/tex] е успоредник и следователно [tex]NA=DC[/tex]. Освен това [tex]S_{MBC}=S_{NBM}[/tex], тоест искаме да покажем, че [tex]S_{NBC}=S_{ABCD}[/tex]. Това обаче следва непосредствено от факта, че както триъгълникът, така и трапецът имат обща височина и [tex]NA=DC[/tex].

В пета задача построяваме права през [tex]D[/tex], успоредна на [tex]AC[/tex], която пресича [tex]AB[/tex] в [tex]P[/tex]. Така получаваме [tex]\triangle PBD[/tex] със страни [tex]PB=10[/tex], [tex]BD=6[/tex] и [tex]DP=8[/tex]. Вижда се, че [tex]PB^2=BD^2+DP^2[/tex] и значи [tex]\sphericalangle PDB=90^\circ[/tex]. Следователно диагоналите на трапеца са взаимно перпендикулярни и лицето му намираме [tex]S_{ABCD}=\dfrac{6.8}{2}=24[/tex].

В седма задача построй [tex]DP\parallel CB[/tex] ([tex]P\in AB[/tex]) и ще получиш триъгълник, чиито страни можеш лесно да намериш. Намираш лицето му, оттам [tex]-[/tex] височината му през върха [tex]D[/tex] и прилагаш формулата за лице на трапец, което, както знаеш, е равно на произведението на височината му и полусбора на двете му основи. Останалите пробвай сам.

[mail_dinko]

7. и 8. са аналогични
Зад. 7
Построяваме височините от малката към голямата основа, петите на перпендикулярите лежат на голямата основа
[tex]DD_1 = CC_1 = h : D_ 1 \in AB ; C_ 1 \in AB[/tex]
[tex]C_1 D_ 1 = CD = 3 \Rightarrow C_1 B = x \Rightarrow AD_1 = 5-x[/tex]
Прилага се питагровата теорема за двата получени правоъгълник триъгълници
[tex]AD ^2 = AD_1 ^2 + D_1 D ^2[/tex]
[tex]CB ^2 = BC_1 ^2 + C_1 C ^2[/tex]
[tex]AD ^2 = AD_1 ^2 + h ^2[/tex]
[tex]CB ^2 = BC_1 ^2 + h ^2[/tex]
[tex]AD^2 - AD_1 ^2 = CB^2 - BC_1 ^2[/tex]
[tex]36-25+10x \cancel {-x^2 } = 81\cancel {-x^2 }[/tex]
[tex]x = 7[/tex]
[tex]h = \sqrt {BC^2 - BC_1 ^2}= \sqrt {81-49} = 4 \sqrt {2}[/tex]
[tex]S = \frac 12 (8+3) . 4 \sqrt {2} = 22 \sqrt {2}[/tex]

Зад. 8
Построяваме височините от малката към голямата основа, петите на перпендикулярите лежат на голямата основа
[tex]DD_1 = CC_1 = h : D_ 1 \in AB ; C_ 1 \in AB[/tex]
[tex]C_1 D_ 1 = CD = 16 \Rightarrow C_1 B = x \Rightarrow AD_1 = 14-x[/tex]
Прилага се питагровата теорема за двата получени правоъгълник триъгълници
[tex]AD ^2 = AD_1 ^2 + D_1 D ^2[/tex]
[tex]CB ^2 = BC_1 ^2 + C_1 C ^2[/tex]
[tex]AD ^2 = AD_1 ^2 + h ^2[/tex]
[tex]CB ^2 = BC_1 ^2 + h ^2[/tex]
[tex]AD^2 - AD_1 ^2 = CB^2 - BC_1 ^2[/tex]
[tex]225-196+28x \cancel {-x^2 } = 169 \cancel {-x^2 }[/tex]
[tex]x = 5[/tex]
[tex]h = \sqrt {BC^2 - BC_1 ^2}= \sqrt {169-25} = 12[/tex]
[tex]S = \frac 12 .46 . 12 = 276[/tex]

[Евва]

7 зад. Ето и моята идея :
1. Построяваме т. М -прес. точка на правите AD и ВС .
2. От подобието на [tex]\triangle[/tex]АВМ и [tex]\triangle[/tex]DCM намираме СМ =[tex]\frac{27}{5}[/tex] и DM= [tex]\frac{18}{5}[/tex] .
3. По Хероновата формула намираме
[tex]S_{ABM }[/tex]=[tex]\frac{128 \sqrt{2} }{5}[/tex] , [tex]S_{DCM }[/tex]=[tex]\frac{18 \sqrt{2} }{5}[/tex] .

4. [tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{ABM }[/tex]-[tex]S_{DCM }[/tex]=[tex]\frac{128 \sqrt{2} }{5}[/tex]-[tex]\frac{18 \sqrt{2} }{5}[/tex]= 22[tex]\sqrt{2}[/tex]