Успоредник

[Гост]

Даден е успоредник ABCDс лице 24 см2. Точка Ме средата на страната DС, а Ре пресечната точка на ВМс АС. Намерете лицето на DCP.

[Евва]

4 [tex]см.^{2 }[/tex]

[mail_dinko]

Правим чертеж. Установяваме, че има подобни триъгълници
[tex]\triangle ABP ~ \triangle CMP[/tex]
[tex]\angle APB = \angle MPC[/tex] - връхни ъгли
[tex](AB || CD) \cap AC \Rightarrow \angle PAB = \angle ACM[/tex] - кръстни ъгли
[tex]MC = \frac 12 AB[/tex]
[tex]\frac {AB}{MC} = k = \frac {AB}{\frac {AB}{2}}=2[/tex]
Коефициентът на подобие се отнася и за височините към съответните страни
[tex]\frac {h _ {AB}}{h _{MC}} = 2 \Rightarrow h _ {MC} = \frac {h_{усп}}{3}[/tex]
[tex]S _ {\triangle DPC} = \frac {DC. \frac {h_{усп}}{3} }{2}[/tex]
[tex]AB= CD[/tex]
[tex]24 = h_ {усп} . AB[/tex]
[tex]S _ {\triangle DPC} = \frac {AB. h_{усп}}{6}=4[/tex]

[Евва]

Ето и моята идея :
Нека Р[tex]Р_{1 }[/tex] и Р[tex]Р_{2 }[/tex] са височини съответно в [tex]\triangle[/tex]ABP и в [tex]\triangle[/tex]PCD .

[tex]S_{ABP }[/tex]+[tex]S_{PCD }[/tex]=[tex]\frac{AB.P P_{1 } }{2}[/tex]+[tex]\frac{CD.P P_{2 } }{2}[/tex]=[tex]\frac{AB}{2}[/tex](P[tex]P_{1 }[/tex]+P[tex]P_{2 }[/tex])=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]S_{ABCD }[/tex]=12

Означаваме [tex]S_{PCD }[/tex] =a ([tex]S_{PCM }[/tex]=[tex]\frac{a}{2}[/tex] ) и [tex]S_{ABP }[/tex]=12-a

[tex]\triangle[/tex]ABP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]PCM ( 1 признак ) [tex]\frac{ S_{ABP } }{ S_{PCM } }[/tex]=[tex]\frac{ AB^{2 } }{ CM^{2 } }[/tex] ; [tex]\frac{12-a}{ \frac{a}{2} }[/tex]=[tex]\frac{ AB^{2 } }{ \frac{ AB^{2 } }{4} }[/tex] ; 4a=24-2a ; a=4

Намерихме [tex]S_{PCD }[/tex]=a=4 [tex]см.^{2 }[/tex]

[S.B.]

Даден е успоредник ABCDс лице 24 см2. Точка Ме средата на страната DС, а Ре пресечната точка на ВМс АС. Намерете лицето на DCP.

Без заглавие - 2022-01-30T082558.682.png (207.42 KiB) Прегледано 284 пъти

Още един поглед върху задачата:

Построявам права[tex]p \begin{cases} p z D \\ p ||MB\\p \cap AB = N\\p \cap AC = Q \end{cases}[/tex]

По Талес :[tex]\frac{CD}{CM} = \frac{CQ}{CP} = \frac{2}{1} \Rightarrow CP = PQ[/tex]

[tex]\begin{cases} MD||NB \\ DN||MB \end{cases} \Rightarrow NBMD[/tex] е успоредник[tex]\Rightarrow NB = DM \Rightarrow AN = MC[/tex]

[tex]\triangle MPC \cong \triangle ANQ[/tex] ( по втори признак) [tex]\Rightarrow AQ = PC[/tex]

[tex]\begin{cases} AQ = PC \\ PC = PQ\end{cases} \Rightarrow AQ = QP = PC = \frac{1}{3}AC[/tex]

[tex]PC = \frac{1}{3} AC \Rightarrow S_{PCD } = \frac{1}{3} S_{ACD } \Leftrightarrow S_{PCD } = \frac{1}{3}.12 \Rightarrow[/tex]
$$S_{PCD } = 4$$