Четириъгълникът АВСD е описан около окръжност и АВ =3

[Kriseto29]

Четириъгълникът АВСD е описан около окръжност и АВ =3, ВС = 4, АС = 5,DC = 6. Намерете страната AD, лицето му и синуса на в ъгъла между диагоналите.

[mail_dinko]

Срещулежащите страни в описан около окръжност четириъгълник имат равни сборове
Намираме [tex]AD= AB+CD-BC=3+6-4=5 \Rightarrow AD=5[/tex]
Намираме лицето на четириъгълника като сбор от лица на два триъгълника - може по хероновата ф-ла или косинусова теорема - синус - и полупроизведението на две страни и синусът на ъгъла, заключен между тях
[tex]\triangle ACD: P=16\Rightarrow p=8 \Rightarrow_{ACD}=\sqrt {8.2.3^2}= 12[/tex]
[tex]\triangle ACB: P=12\Rightarrow p=6 \Rightarrow_{ACD}=\sqrt {6.2.3}=6[/tex]
[tex]S_{ABCD}=S_{ACD}+S_{ACD}=18[/tex]
[tex]S_{ABCD}=\frac 12 . AC. BD. sin \angle_{AOD}[/tex]
[tex]18=\frac 12 . 5. BD. sin \angle_{AOD}[/tex]
[tex]sin \angle_{AOD} =\frac {36}{5.BD}[/tex]

[S.B.]

Четириъгълникът АВСD е описан около окръжност и АВ =3, ВС = 4, АС = 5,DC = 6. Намерете страната AD, лицето му и синуса на в ъгъла между диагоналите.

Без заглавие - 2023-01-20T093559.766.png (216.79 KiB) Прегледано 1284 пъти

[tex]AC \cap BD = O[/tex]
Нека [tex]\angle CAB = \alpha , \angle DAC = \beta , \angle COB = \varphi[/tex]
От условието,че $ABCD$ е описан [tex]\rightarrow AD + BC = AB + CD \Leftrightarrow AD + 4 = 3 + 6 \Rightarrow AD = 5[/tex]
[tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен (лесно се доказва с Питагоровата тройка $3,4,5$, или с Косинусова теорема)
[tex]S_{ABC } = \frac{3.4}{2} = 6[/tex]
За [tex]\triangle ACD[/tex] прилагам Косинусова теорема :
[tex]\cos \beta = \frac{ DC^{2 } - AD^{2 } - AC^{2 } }{-2.AD.AC} \Leftrightarrow \cos \beta = \frac{36 - 50}{- 50} \Rightarrow \cos \beta = \frac{7}{25}, \Rightarrow \sin \beta = \frac{24}{25}[/tex]
[tex]S_{ACD } = \frac{1}{2}.AC.AD.\sin \beta \Leftrightarrow S_{ACD } = \frac{25.24}{50} \Rightarrow S_{ACD } = 18[/tex]
[tex]S_{ABCD } = S_{ACD } + S_{ABC } \Leftrightarrow S_{ABCD } = 12 + 6 \Rightarrow S_{ABCD } = 18[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{1}{2} .AC.BD.\sin \varphi[/tex]
За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]BD^{2 } = AD^{2 } + AB^{2 } - 2.AD.AB.\cos \angle DAB[/tex]

[tex]\angle DAB = \alpha + \beta \Rightarrow \cos \angle DAB = \cos( \alpha + \beta ) = \cos \alpha.\cos \beta - \sin \alpha .\sin \beta[/tex]
Вече намерих,че :
[tex]\ sin \beta = \frac{24}{25} , \cos \beta = \frac{7}{25}[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] намирам:
[tex]\sin \alpha = \frac{4}{5} , \cos \alpha = \frac{3}{5}[/tex]

Тогава :
[tex]\cos ( \alpha + \beta ) = \frac{3}{5}. \frac{7}{25} - \frac{4}{5}. \frac{24}{25} = - \frac{3}{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow DB^{2 } = 3^{2 } + 5^{2 } + 2.3.5. \frac{3}{5} \Leftrightarrow DB^{2 } = 52 \Rightarrow DB = 2 \sqrt{13}[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{1}{2}.AC.BD.\sin \varphi \Leftrightarrow 18 = \frac{1}{2}.5.2 \sqrt{13}.\sin \varphi \Rightarrow \sin \varphi = \frac{18 \sqrt{13} }{65}[/tex]

[Гост]

Срещулежащите страни в описан около окръжност четириъгълник имат равни сборове
Намираме [tex]AD= AB+CD-BC=3+6-4=5 \Rightarrow AD=5[/tex]
Намираме лицето на четириъгълника като сбор от лица на два триъгълника - може по хероновата ф-ла или косинусова теорема - синус - и полупроизведението на две страни и синусът на ъгъла, заключен между диагоналите
[tex]sin \angle_{AOD} =\frac {36}{5.BD}[/tex]

Задачата не е довършена!
Как определяте $BD=?$