Четириъгълник

[Гост]

Здравейте, за домашна имам две задачи, но не мога да се справя с тях!

1. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Намерете лицето му S, ако AB=5, BC=7, CD=3√3 и AD=√3

2.В окръжност е вписан четириъгълник ABCD. Ако AB=BC=√19, CD=3, DA=2, намерете лицето на четириъгълника.

[Евва]

1 зад. Използвай Херонова формула за вписан четириъгълник .

S =[tex]\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}[/tex]

[S.B.]

Здравейте, за домашна имам две задачи, но не мога да се справя с тях!

1. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Намерете лицето му S, ако AB=5, BC=7, CD=3√3 и AD=√3

2.В окръжност е вписан четириъгълник ABCD. Ако AB=BC=√19, CD=3, DA=2, намерете лицето на четириъгълника.

Двете задачи се решават по един и същи начин,за това ще покажа решението на зад.1,а Вие ще решите самостоятелно задача 2.
По принцип колежката Евва е права и Вие можете да приложите Хероновата формула ,но аз ще Ви покажа и друг начин,като за целта ще използвам,че четириъгълникът е вписан в окръжност,което означава,че сборът от срещуположните му ъгли е [tex]180 ^\circ[/tex]

Без заглавие - 2023-01-24T214102.792.png (250.68 KiB) Прегледано 1629 пъти

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AC^{2 } = AB^{2 } + BC^{2 } - 2.AB.AC.\cos \varphi \Leftrightarrow AC^{2 } = 5^{2 } + 7^{2 } - 2.5.7.\cos \varphi \Rightarrow[/tex]
$$AC^{2 } = 74 - 70\cos \varphi $$
За [tex]\triangle ACD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AC^{2 } = AD^{2 } + DC^{2 } - 2.AD.DC.\cos(180 ^\circ - \varphi) \Leftrightarrow AC^{2 } = ( \sqrt{3}) ^{2 } + (3 \sqrt{3}) ^{2 }+2. \sqrt{3}.3 \sqrt{3}.\cos \varphi \Rightarrow[/tex]
$$AC^{2 } = 30 + 18\cos \varphi $$
[tex]\begin{cases} AC^{2 } = 74 - 70\cos \varphi \\ AC^{2 } = 30 + 18\cos \varphi \end{cases} \Rightarrow74 - 70\cos \varphi = 30 + 18\cos \varphi \Rightarrow 88\cos \varphi = 44 \Rightarrow \cos \varphi = \displaystyle\frac{1}{2}[/tex]
$$\cos \varphi = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{2} , \sin (180 ^\circ - \varphi) = \frac{ \sqrt{3} }{2} $$

[tex]S_{ABCD } = S_{ABC } + S_{ACD }[/tex]

[tex]S_{ABC } = \frac{AB.BC}{2}.\sin \varphi \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{5.7}{2}. \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{35 \sqrt{3} }{4}[/tex]

[tex]S_{ACD } = \frac{CD.AD}{2}\sin(180 ^\circ - \varphi ) \Leftrightarrow S_{ACD } = \frac{ \sqrt{3}.3 \sqrt{3} }{2}. \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow S_{ADC } = \frac{9 \sqrt{3} }{4}[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{35 \sqrt{3} }{4} + \frac{9 \sqrt{3} }{4} = \frac{44 \sqrt{3} }{4} \Rightarrow[/tex]
$$S_{ABCD } = 11 \sqrt{3} $$