Трапец и ъгъл между диагоналите

[Гост]

Blagodarq predwaritelno

[Евва]

Нека диагоналите АС и BD се пресичат в т.О и DH е височина в трапеца .
[tex]\angle[/tex]AOD=30[tex]^\circ[/tex] ,съседният [tex]\angle[/tex]AOB=150[tex]^\circ[/tex]
AC е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]DAB [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DAC=[tex]\angle[/tex]BAC ,но [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]ACD (защото са кръстни и AB||CD) следователно [tex]\angle[/tex]DAC=[tex]\angle[/tex]ACD
Тогава [tex]\triangle[/tex]ACD е равнобедрен .По същия начин доказваме ,че [tex]\triangle[/tex]DBC е равнобедрен .
Значи AD=CD=BC ,означаваме ги с- b . Вече знаем (според бедрата) ,че ABCD е равнобедрен трапец [tex]\Rightarrow[/tex] АО=ВО .
[tex]\triangle[/tex]АВО е равнобедрен с [tex]\angle[/tex]АОВ=150[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ОАВ=15[tex]^\circ[/tex] ,но АС е ъглополовяща ,значи [tex]\angle[/tex]CAD=15[tex]^\circ[/tex]
намираме [tex]\angle[/tex]BAD=2.15[tex]^\circ[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]AHD е правоъгълен с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] DH=h=[tex]\frac{AD}{2}[/tex] т.е. h=[tex]\frac{b}{2}[/tex] (1)
([tex]\triangle[/tex]AHD -правоъгълен) [tex]AH^{2 } + DH^{2 } = AD^{2 }[/tex]
([tex]\frac{a-b}{2} )^{2 }[/tex]+([tex]\frac{b}{2}) ^{2 }[/tex]=[tex]b^{2 }[/tex]

Получаваме квадратното ур-е 2[tex]b^{2 }[/tex]+2ab-[tex]a^{2 }[/tex]= 0
k=[tex]\frac{2a}{2}[/tex] =a ;D=[tex]a^{2 } +2a^{2 }=3 a^{2 }[/tex] ; b=[tex]\frac{a( \sqrt{3} -1) }{2}[/tex] (2) (другото b<0 и отпада)

[tex]S_{ABCD }[/tex]= [tex]\frac{1}{2}[/tex][ a+[tex]\frac{a( \sqrt{3}-1) }{2}[/tex] ].[tex]\frac{a( \sqrt{3}-1) }{4}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{a( \sqrt{3} +1)}{2}[/tex].[tex]\frac{a( \sqrt{3}-1) }{4}[/tex]=(тук виждаме формула от 7 клас )
=[tex]\frac{ a^{2 }(3-1) }{16}[/tex]= [tex]\frac{ а^{2 } }{8}[/tex]