Четириъгълник

[strahil06]

Добро утро, бихте ли помогнали с тези задачи от четириъгълник?

1. Намерете лицето на четириъгълник, единият диагонал на който е 30 см, а отсечките, съединяващи средите на двойките срещуположни страни, са 26 см и 28 см.
2. Отсечките, съединяващи средите на двойките противоположни страни в четириъгълник са m и n (m >n), а ъгълът между диагоналите му е [tex]\varphi[/tex]. Намерете лицето на четириъгълника.

[Евва]

1 зад. ABCD - четириъгълник , AC пресича BD в т.Q
Точките M ,N ,P и T са среди съответно на страните AB ,BC ,CD и AD .
Нека AC=30 см., MP=26 см. и NT=28 см.
[tex]S_{ABCD }[/tex] =?
MN е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]\Rightarrow[/tex] MN||AC и MN=[tex]\frac{AC}{2}[/tex] =15 см. (1)
PT е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]ACD [tex]\Rightarrow[/tex] PT||AC и PT =[tex]\frac{AC}{2}[/tex] =15 см. (2)
От (1) и (2) следва MN||PT и MN=PT т.е. MNPT е успоредник .

Успоредникът има свойството : [tex]диагонал_{1 } ^{2 }[/tex] +[tex]диагонал_{2 } ^{2 }[/tex] =2[tex]дължина^{2 }[/tex] +2[tex]широчина^{2 }[/tex]
В нашата задача [tex]MP^{2 }+ NT^{2 } =2 MN^{2 } +2 PN^{2 }[/tex]
[tex]26^{2 } + 28^{2 } =2. 15^{2 } +2. PN^{2 }[/tex] получаваме PN=[tex]\sqrt{505}[/tex] см.
PN е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]DBC ; BD=2PN ; BD=2[tex]\sqrt{505}[/tex] см.

1 случай [tex]\angle[/tex]AQD-остър и 2 случай [tex]\angle[/tex]AQB -остър
[tex]\angle[/tex]AQD=[tex]\angle[/tex]MNP =[tex]\alpha[/tex] остри ъгли с взаимноуспоредни рамене
([tex]\triangle[/tex]MNP -cos T) [tex]MP^{2 } = MN^{2 } + PN^{2 } -2MN.PN.cos \alpha[/tex]
[tex]26^{2 } = 15^{2 } +( \sqrt{505} )^{2 } -2.15 \sqrt{505}[/tex]cos[tex]\alpha[/tex] ; cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{9}{5 \sqrt{505} }[/tex] ,тогава sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{112}{5 \sqrt{505} }[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD.sin \alpha }{2} = \frac{30.2 \sqrt{505} }{2}[/tex].[tex]\frac{112}{5 \sqrt{505} } =672[/tex] [tex]см.^{2 }[/tex]
Ако има два отговора -трябва да разгледате и 2 случай .