Помощ със задача

[Гост]

Моля помогнете. Даден е правоъгълник ABCD с лице S и пресечна точка на диагоналите О. Окръжността, описана около АВО, пресича за втори път правата AD в точка М, като tg АВМ = 1. Намерете диагонала и периметъра направоъгълника.

[Евва]

Може ли отговорите ?

[S.B.]

Моля помогнете. Даден е правоъгълник ABCD с лице S и пресечна точка на диагоналите О. Окръжността, описана около АВО, пресича за втори път правата AD в точка М, като tg АВМ = 1. Намерете диагонала и периметъра направоъгълника.

Без заглавие - 2024-01-31T111952.192.png (227.14 KiB) Прегледано 1063 пъти

От [tex]\triangle ABM[/tex]:
[tex]\angle BAM = 90 ^\circ , \tg \angle ABM = 1 \Rightarrow \angle ABM = 45 ^\circ \Rightarrow \angle AMB = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ABM = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AOB}}{2} = 45 ^\circ \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{AOB} = 90 ^\circ \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{AMB} = 270 ^\circ \Rightarrow \angle AOB = \frac{270 ^\circ }{2} = 135 ^\circ[/tex]
$AC = BD = d$
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}\sin \angle AOB \Leftrightarrow S = \frac{ d^{2 } }{2}\sin 125 ^\circ \Leftrightarrow S = \frac{ d^{2 } }{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow d^{2 } = 2S \sqrt{2}[/tex]
$$\Rightarrow d = \sqrt{2S \sqrt{2} } $$
Нека [tex]AB = a,AD = b, S = a.b \Rightarrow b = \frac{S}{a}[/tex]

За [tex]\triangle AOB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2 } = AO^{2 } + BO^{2 } - 2.AO.BO.\cos \angle AOB \Leftrightarrow a^{2 } = 2 ( \frac{d}{2}) ^{2 } + 2 ( \frac{d}{2}) ^{2 }\cos 125 ^\circ \Leftrightarrow a^{2 } = \frac{ d^{2 } }{2}(1 + \frac{ \sqrt{2} }{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^{2 } = S \sqrt{2}(1 + \frac{ \sqrt{2} }{2}) \Rightarrow a = \sqrt{S \sqrt{2}(1 + \frac{ \sqrt{2} }{2}) }[/tex]
[tex]b = \frac{S}{a} \Rightarrow b = \frac{S}{ \sqrt{S \sqrt{2}(1 + \frac{ \sqrt{2} }{2} )} }[/tex]
[tex]P_{ABCD } = 2a + 2b = ......[/tex] (заместваш получените резултати и довършваш задачата! Успех! )

Скрит текст: покажи

Много бързах,може и да имам някъде грешка,но идеята е ясна