Равнобедрен трапец

[Гост]

Диагоналът на равнобедрен трапец е 16см. Малката основа е 5,5 см, а голямата основа е 10,5 см. На колко градуса е равен ъгълът между диагоналите на трапеца?

[ammornil]

Диагоналът на равнобедрен трапец е 16см. Малката основа е 5,5 см, а голямата основа е 10,5 см. На колко градуса е равен ъгълът между диагоналите на трапеца?

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-04-22 192158.png (21.62 KiB) Прегледано 278 пъти

[tex]\\AB=10,5[cm], \quad CD=5,5[cm], \quad AD=BC, \quad AC=BD=16[cm] \\ AC\cap{BD}=O, \quad \angle{AOB}=\varphi \\ DD_{1}\bot{AB}, \quad CC_{1}\bot{AB} \\ CC_{1}D_{1}D \text{ правоъгълник по построение } \Rightarrow C_{1}D_{1}=CD=5,5[cm] \\ \triangle{AD_{1}D}\cong\triangle{BC_{1}C} \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=\frac{AB-CD}{2}=2,5[cm] \\ AC_{1}=AD_{1}+D_{1}C_{1}=8[cm] \\ \triangle{AC_{1}C} \rightarrow CC_{1}=\sqrt{AC^{2}-AC_{1}^{2}}=\sqrt{(16-8)(16+8)}=\sqrt{8\cdot{}24}=8\sqrt{3}[cm] \\ S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot{}CC_{1}=\frac{10,5+5,5}{2}\cdot{}8\sqrt{3}=64\sqrt{3}[cm^{2}] \\ S_{ABCD}=\frac{AC\cdot{BC}\sin{\varphi}}{2} \Rightarrow \sin{\varphi}=\frac{2\cdot{}S_{ABCD}}{AC\cdot{BC}}=\frac{2\cdot{64\sqrt{3}}}{16\cdot{16}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \varphi=\arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}}=60^{\circ}[/tex]

[S.B.]

Диагоналът на равнобедрен трапец е 16см. Малката основа е 5,5 см, а голямата основа е 10,5 см. На колко градуса е равен ъгълът между диагоналите на трапеца?

Без заглавие - 2024-04-23T072814.624.png (243.88 KiB) Прегледано 261 пъти

Един по-различен поглед върху задачата

Подлагам диагонала $BD$ на транслация с вектор[tex]\vec{DC}[/tex] при която [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow B_{1 }[/tex]
[tex]B B_{1 } CD[/tex] е успоредник (ЗАЩО?)[tex]\Rightarrow C B_{1 } = BD = 16 , B B_{1 }= CD = 5,5 \Rightarrow A B_{1 } = 10,5 + 5,5 =16[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle A B_{1 }C[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow \angle AC B_{1 } = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle AOB = \angle AC B_{1 }[/tex] (като съответни ъгли )
$$\Rightarrow \angle AOB = 60 ^\circ $$

[Гост]

Въпрос: Как знаем, че АОВ е острият ъгъл, а не е СОВ?

[ammornil]

Въпрос: Как знаем, че АОВ е острият ъгъл, а не е СОВ?

Не знаем. Пресмятаме го. Чертежът е само за нуждите на анализа. Понякога в процеса на решаване на проблем се налага да променим чертежа си за да показва по-точно реалните условия.

[Гост]

Благодаря Ви, това значи ли, че ъгълът между диагоналите може и да е 120 градуса? Намерих същата задача в един сборник, две от подточките бяха 60 и 120 градуса, но като верен е посочен само 60.

[ammornil]

Благодаря Ви, това значи ли, че ъгълът между диагоналите може и да е 120 градуса? Намерих същата задача в един сборник, две от подточките бяха 60 и 120 градуса, но като верен е посочен само 60.

$\\[24pt] $ В случая и двата отговора са верни, защото диагоналите образуват при пресичането си два ъгъла, допълващи се до $180^{\circ}$. Понеже търсеният ъгъл не е посочен като тип (например на колко е равен острият ъгъл между диагоналите) или поименно зададен (например да се пита на колко е равен $\angle{AOD}$), то следва да приемем и острия, и тъпия ъгъл като верен отговор. Единият е достатъчен, защото вторият е допълващия до изправен ъгъл. Математиката е сравнително точна наука и случаи като този показват колко важно е да се дефинират правилно проблемите и да се указва ясно и точно какво се търси в задачата.