Четириъгълник

[Гост]

Диагоналите АС и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в точка О. S(AOB)= 12 cm², S(AOD) = 8 cm², AO/OC = 4/5. Да се намери лицето на четириъгълника ABCD.

[Евва]

45 [tex]см.^{2 }[/tex] ли е верния отговор ?

[Гост]

Да

[Евва]

Да построим височините DH и BP съотв. в [tex]\triangle[/tex]ACD и в [tex]\triangle[/tex]ABC .
Точка N[tex]\in[/tex]отсечката OC така ,че AO=ON=4x,тогава NC=x .

[tex]S_{AOD }[/tex]=8 ;[tex]\frac{AO.DH}{2}[/tex]=8 ;[tex]\frac{4x.DH}{2}[/tex]=8 ;DH=[tex]\frac{4}{x}[/tex] (1)

[tex]S_{AOB }[/tex]=12 ;[tex]\frac{AO.BP}{2}[/tex]=12 ;[tex]\frac{4x.BP}{2}[/tex]=12 ;BP=[tex]\frac{6}{x}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]AOD и [tex]\triangle[/tex]OND са равнолицеви ,защото AO=ON и имат една и съща височина DH .
Аналогично [tex]\triangle[/tex]ABO и [tex]\triangle[/tex]BNO са равнолицеви .

Скрит текст: покажи

Остава да намерим [tex]S_{NCD }[/tex] и [tex]S_{BCN }[/tex] .

[tex]S_{NCD }= \frac{NC.DH}{2} = \frac{x. \frac{4}{x} }{2}[/tex]=2

[tex]S_{BCN } = \frac{NC.BP}{2} = \frac{x. \frac{6}{x} }{2}[/tex]=3

[tex]S_{ABCD } = S_{AOB }+ S_{BNO }+ S_{AOD }+ S_{OND } + S_{NCD } + S_{BCN }[/tex]= ...

[Гост]

Здравейте! Моля за помощ с тези задачи...

[Евва]

6 зад.
CN е медиана в [tex]\triangle[/tex]DBC [tex]CN^{2 }= \frac{2 b^{2 } +2c^{2 } -q^{2 } }{4}[/tex]

AN е медиана в [tex]\triangle[/tex]ABD [tex]AN^{2 }= \frac{ 2a^{2 } +2d^{2 } -q^{2 } }{4}[/tex]

BM е медиана в [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]BM^{2 }= \frac{ 2a^{2 } +2b^{2 } -p^{2 } }{4}[/tex]

DM е медиана в [tex]\triangle[/tex]ACD [tex]DM^{2 }= \frac{ 2c^{2 } +2d^{2 } -p^{2 } }{4}[/tex]

Намираме [tex]CN^{2 } +AN^{2 } +BM^{2 } +DM^{2 } = \frac{ 4a^{2 } +4b^{2 } +4c^{2 } +4d^{2 } -2p^{2 } -2q^{2 } }{4}[/tex] (1)

NM е медиана в [tex]\triangle[/tex]ANC и MN е медиана в [tex]\triangle[/tex]DBM

[tex]\begin{array}{|l} NM^{2 } = \frac{ 2CN^{2 } +2AN^{2 } -AC^{2 } }{4} \\ MN^{2 } = \frac{ 2BM^{2 } +2DM^{2 } -BD^{2 } }{4} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 4MN^{2 }+ p^{2 } = 2CN^{2 } +2AN^{2 } \\ 4 MN^{2 } + q^{2 } = 2BM^{2 } +2DM^{2 } \end{array}[/tex]

Скрит текст: покажи

Събираме двете уравнения .

[tex]p^{2 } +q^{2 } =2( CN^{2 } +AN^{2 } +BM^{2 } +DM^{2 } ) -8MN^{2 }[/tex] прилагаме (1)

[tex]p^{2 } +q^{2 } = 2 . \frac{ 4a^{2 } +4b^{2 } +4c^{2 } +4d^{2 } -2p^{2 } -2q^{2 } }{4} -8 MN^{2 }[/tex]

[tex]p^{2 } +q^{2 } = a^{2 } +b^{2 } +c^{2 } +d^{2 } - 4MN^{2 }[/tex]

[Евва]

7 зад. Нека [tex]\angle[/tex]ACB =[tex]\gamma[/tex]
BC=3x =?

([tex]\triangle[/tex]ABC -cos T) [tex]AB^{2 } =BC^{2 } +AC^{2 } -2BC.AC.cos \gamma[/tex]
([tex]\triangle[/tex]EDC -cos T) [tex]ED^{2 } =DC^{2 } +EC^{2 } -2DC.EC.cos \gamma[/tex]

625=9[tex]x^{2 }[/tex]+3 136 -2.3x.56.cos[tex]\gamma[/tex]
676=4[tex]x^{2 }[/tex]+2 304 -2.2x.48.cos[tex]\gamma[/tex]

[tex]\frac{9 x^{2 }+2 511 }{3.7. 2^{4 } } =cos \gamma= \frac{4 x^{2 }+1 628 }{3. 2^{6 } }[/tex]

Получаваме x=13 ,тогава BC=3x=39

[S.B.]

Здравейте! Моля за помощ с тези задачи...

Задача 4.

Без заглавие - 2024-12-27T171922.859.png (193.63 KiB) Прегледано 176 пъти

[tex]\triangle ABC , \angle C = 90 ^\circ CD \bot AB, D \in AB , P_{ABC } = 10, P_{ADC } = 6[/tex]
Търсим [tex]P_{DBC }[/tex]
Нека [tex]AB = c , AC = b , BC = a , CD = h ,AD = x , BD = c-x, \angle CAB = \alpha[/tex]

[tex]\triangle ADC \approx \triangle ABC \Rightarrow \frac{ P_{ADC } }{ P_{ABC } } = \frac{AC}{AB} \Leftrightarrow \frac{6}{10} = \frac{b}{c}[/tex]
Но от [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{b}{c} = \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{6}{10} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5} , \sin \alpha = \frac{4}{5}[/tex]

За [tex]\triangle ADC :[/tex]
[tex]\frac{CD}{AC} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{h}{b} = \frac{4}{5} \Rightarrow h = b. \frac{4}{5}[/tex]
[tex]\frac{AD}{AC} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{x}{b} = \frac{3}{5} \Rightarrow x = b. \frac{3}{5}[/tex]
[tex]P_{ADC } = AC + AD+ DC \Leftrightarrow 6 = b + \frac{3}{5}b + \frac{4}{5}b \Leftrightarrow 6 = b( 1 + \frac{3}{5} + \frac{4}{5}) \Leftrightarrow \frac{12}{5} b = 6[/tex]
$$ \Rightarrow AC = b = \frac{5}{2} $$
За [tex]\triangle ABC :[/tex]
[tex]\frac{AC}{AB} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{b}{c} = \cos \alpha \Leftrightarrow c = \frac{b}{\cos \alpha }[/tex]
[tex]c = \displaystyle \frac{ \displaystyle\frac{5}{2} }{\displaystyle \frac{3}{5} }[/tex]
[tex]\Rightarrow c = \frac{25}{6}[/tex]
[tex]AD = b. \frac{3}{5} = \frac{5}{2}. \frac{3}{5} \Rightarrow AD = \frac{3}{2}[/tex]

[tex]AB = AD + DB \Leftrightarrow \frac{25}{6} = \frac{3}{2} + DB \Rightarrow DB = \frac{25}{6} - \frac{3}{2}[/tex]
$$\Rightarrow DB = \frac{8}{3} $$
[tex]DH = b. \frac{4}{5} \Leftrightarrow DH = \frac{5}{2}. \frac{4}{5}[/tex]
$$\Rightarrow DH = 2$$
От [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{BC}{AB} = \sin \alpha \Leftrightarrow BC = c. \frac{4}{5} = \frac{25}{6}. \frac{4}{5}[/tex]
$$\Rightarrow BC = \frac{10}{3} $$
[tex]P_{DBC }= DB + BC + DC = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} + 2 = \frac{24}{3}[/tex]
$$\Rightarrow P_{DBC } = 8 $$