задачка с ромб и триъгълници

[Гост]

Задачката е следната :

Намерете лицето на ромба АБЦД , ако радисуите на описаните
около триъгълниците АБЦ и АБД окръжности са съответно R и r.

[ammornil]

Задачката е следната :

Намерете лицето на ромба АБЦД , ако радисуите на описаните
около триъгълниците АБЦ и АБД окръжности са съответно R и r.

$\\[12pt] \dfrac{BD}{\sin{\angle{DAB}}}=2\cdot{}r, \quad \dfrac{AC}{\sin{\angle{ABC}}}=2\cdot{}R\\[6pt] \angle{DAB}= 180^{\circ} -\angle{ABC} \Rightarrow \sin{\angle{ABC}}= \sin{\angle{DAB}} \\[6pt] BD= 2r\sin{\angle{DAB}}, AC= 2R\sin{\angle{DAB}}\\[6pt] S_{ABCD}=\dfrac{AC\cdot{}BD}{2} =2\cdot{}R\cdot{}r\cdot{}\sin^{2}{\angle{DAB}}$

[Гост]

Хубаво,но ъгъла не е даден.Колко е този синус?

[ammornil]

Аз не се сещам как само от двата радиуса да определя ромба еднозначно, затова избрах параметър, който да додефинира фигурата.$\\[6pt]$

Screenshot 2025-03-11 131122.png (51.8 KiB) Прегледано 373 пъти

Screenshot 2025-03-11 131811.png (46.33 KiB) Прегледано 373 пъти

[S.B.]

Задачката е следната :

Намерете лицето на ромба АБЦД , ако радисуите на описаните
около триъгълниците АБЦ и АБД окръжности са съответно R и r.

Без заглавие - 2025-03-11T153835.518.png (275.63 KiB) Прегледано 362 пъти

Означавам :[tex]\angle BAD = \alpha , \angle ABC = 180 ^\circ - \alpha ,AC = d_{1 },BD = d_{2 }[/tex]
$$S_{ABCD } = \frac{ d_{1 }. d_{2 } }{2} $$
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема: [tex]\frac{AC}{\sin (180 ^\circ- \alpha )} = 2R \Leftrightarrow \frac{ d_{1 } }{\sin \alpha } = 2R[/tex]
$$\Rightarrow d_{1 }= 2R\sin \alpha$$
За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Синусова теорема:[tex]\frac{BD}{\sin \alpha } = 2r \Leftrightarrow \frac{ d_{2 } }{\sin \alpha } = 2r[/tex]
$$\Rightarrow d_{2 } = 2r\sin \alpha $$
$$\Rightarrow \frac{ d_{2 } }{ d_{1 } } = \frac{r}{R} $$

От правоъгълния [tex]\triangle AOB \rightarrow \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{BO}{AO} \Leftrightarrow \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \frac{ d_{2 } }{2} }{ \frac{ d_{1 } }{2} } = \frac{ d_{2 } }{ d_{1 } } \Rightarrow \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{R}[/tex]

[tex]\tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{R} \Leftrightarrow \frac{\sin \frac{ \alpha }{2} }{\cos \frac{ \alpha }{2} } = \frac{r}{R} \Rightarrow \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{R}\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]\sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} + \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{ r^{2 } }{ R^{2 } } \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} + \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} = 1 \Rightarrow \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}= \frac{ r^{2 } }{ R^{2 } + r^{2 } }[/tex]
[tex]\Rightarrow \cos \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{ \sqrt{ R^{2 } + r^{2 } } }, \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{R}\cos \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ r^{2 } }{R \sqrt{ r^{2 } + R^{2 } } }[/tex]
[tex]\sin \alpha = 2\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \alpha }{2} = 2. \frac{ r^{2 } }{R \sqrt{ r^{2 } + R^{2 } } }. \frac{r}{ \sqrt{ r^{2 } + R^{2 } } }[/tex]
$$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{2 r^{3 } }{R( r^{2 } + R^{2 }) }$$
Получавам :
[tex]d_{1 } = 2R\sin \alpha \Rightarrow d_{1 } = \frac{4 r^{3 } }{ r^{2 } + R^{2 } }[/tex]
[tex]d_{2 } = 2r\sin \alpha \Rightarrow d_{2 } = \frac{4 r^{4 } }{R( r^{2 } + R^{2 }) }[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{ d_{1 }. d_{2 } }{2} = \frac{1}{2}. \frac{4 r^{3 } }{ r^{2 }+ R^{2 } } . \frac{4 r^{4 } }{R( r^{2 } + R^{2 }) }[/tex]
$$ S_{ABCD } = \frac{8 r^{7 } }{R. ( r^{2 }+ R^{2 } )^{2 } }$$

[Darina73]

Може и да греша ,но аз получавам [tex]d_{1 } = \frac{4 r^{2 }R }{ r^{2 } +R^{2 } }[/tex] и [tex]d_{2 } = \frac{4r R^{2 } }{ r^{2 } +R^{2 } }[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{ d_{1 } d_{2 } }{2} = \frac{8 r^{3 } R^{3 } }{( r^{2 } +R^{2 } )^{2 } }[/tex]

[Гост]

Последния отговор е посочен за правилен.

[S.B.]

Може и да греша ,но аз получавам [tex]d_{1 } = \frac{4 r^{2 }R }{ r^{2 } +R^{2 } }[/tex] и [tex]d_{2 } = \frac{4r R^{2 } }{ r^{2 } +R^{2 } }[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{ d_{1 } d_{2 } }{2} = \frac{8 r^{3 } R^{3 } }{( r^{2 } +R^{2 } )^{2 } }[/tex]

Не,Евва,не грешиш!Грешката е моя!
Както обича да казва нашият уважаван колега KOPMOPAH : "Който бръза бръка!"
Не мога да открия от кой лист какво съм въвеждала,за това пререших задачата (в смисъл пререших сметките,защото постановката и идеята на решението са вярни):

[tex]\tg \displaystyle\frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{R} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{ \alpha }{2} }{\cos \displaystyle \frac{ \alpha }{2} } = \displaystyle \frac{r}{R} \Rightarrow \sin\displaystyle \frac{ \alpha }{2} = \displaystyle \frac{r}{R}\cos\displaystyle \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]\sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} + \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{ r^{2 } }{ R^{2 } } \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} + \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} = 1 \Rightarrow \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} = \frac{ R^{2 } }{ r^{2 } + R^{2 } }[/tex]
$$\Rightarrow \cos \frac{ \alpha }{2} = \frac{R}{ \sqrt{ R^{2 } + r^{2 } } } ,\sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{ \sqrt{ R^{2 } + r^{2 } } } $$
[tex]\sin \alpha = 2.\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]
$$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{2rR}{ r^{2 } + R^{2 } } $$
[tex]d_{1 } = 2R\sin \alpha = 2R. \frac{2rR}{ r^{2 } + R^{2 } } \Rightarrow d_{1 } = \frac{4r R^{2 } }{ r^{2 } + R^{2 } }[/tex]

[tex]d_{2 } = 2r\sin \alpha = 2r. \frac{2rR}{ r^{2 } + R^{2 } } \Rightarrow d_{2 } = \frac{4 r^{2 }R }{ r^{2 } + R^{2 } }[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{ d_{1 }. d_{2 } }{2} \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{1}{2}. \frac{4r R^{2 } }{ r^{2 } + R^{2 } }. \frac{4 r^{2 }R }{ r^{2 }+ R^{2 } }[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{8 r^{3 } R^{3 } }{ ( r^{2 } + R^{2 }) ^{2 } } $$

Поднасям своите извинения за грешката на колегите си и на този,който поиска помощ за тази задача!
Надявам се да е разбрал идеята за решението и как се достига до верните отговори.