Домашна работа.Равнобедрен трапец.

[Veronika_34]

Равноберен трапец ABCD e описан около окръжност.Ако бедрото на трапеца е 4 см,а диагонала му е 5 см. намерете неговите основи.

[ammornil]

Равноберен трапец ABCD e описан около окръжност.Ако бедрото на трапеца е 4 см,а диагонала му е 5 см. намерете неговите основи.

$\\[12pt]$Не сте написали за кой клас е задачата, затова предлагам "бакалско" решение с тригонометрия...$\\[12pt]$ За описан четиръгълник, сборовете от срещулежащите страни са равни. Нека $\\[12pt] ABCD, AB\|CD, AB>CD, AD=BC=4, AC=BD=5\\[6pt]$

Screenshot 2025-06-03 085635.png (32.22 KiB) Прегледано 139 пъти

$\\[12pt]AB=a, CD=b, \angle{DAB}=\angle{ABC}=\alpha \\[6pt] P\in{AB}, DP\|BC \rightarrow \begin{cases} DP\|BC \\ PB\|DC \end{cases} \Rightarrow BPDC $ е успоредник $\\[6pt] \quad \Rightarrow DP=BC=4, PB=CD=b \Rightarrow AP= a-b \\[6pt] \triangle{BPD}: \text{Кос. т-ма} \quad BD^{2} =BP^{2} +PD^{2} -2\cdot{BP}\cdot{PD}\cdot{\cos{(180^{\circ}-\alpha)}} \Rightarrow \\[6pt] \quad 5^{2} =b^{2} +4^{2} -2\cdot{b}\cdot{4}\cdot{(-\cos{\alpha})} \Leftrightarrow (1) \boxed{\quad b^{2} +8b\cos{\alpha} -9=0\quad}\\[12pt] \triangle{ABC}: \text{Кос. т-ма} \quad AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2\cdot{AB}\cdot{BC}\cdot{\cos{\alpha}} \Rightarrow \\[6pt] \quad 5^{2}= a^{2} +4^{2} -2\cdot{a}\cdot{4}\cdot{\cos{\alpha}} \Leftrightarrow (2) \boxed{\quad a^{2} -8a\cos{\alpha} -9=0\quad} \\[12pt]$Трапецът е описан $\Rightarrow AB+CD=AD+BC \Leftrightarrow (3) \boxed{\quad a+b =8\quad}\\[24pt] \cdots$Три уравнения, три неизвестни, можете ли сама да решите задачата по-нататък?

В същност допълнителното построение не е нужно, същите уравнения можете да запишете директно за $\triangle{DCB}$ и $\triangle{ABC}$, респективно $(1)$ и $(2)$.

[S.B.]

Равноберен трапец ABCD e описан около окръжност.Ако бедрото на трапеца е 4 см,а диагонала му е 5 см. намерете неговите основи.

Без заглавие - 2025-06-03T122408.892.png (167.11 KiB) Прегледано 129 пъти

Ето и друг поглед върху задачата
Нека $AB = a,CD = b, a>b$
[tex]CH \bot AB, H \in AB[/tex]
[tex]HB = \frac{a - b}{2} \Rightarrow AH = \frac{a + b}{2}[/tex] (Защото трапецът е равнобедрен)

За [tex]\triangle AHC[/tex] и [tex]\triangle BHC[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам:
[tex]\begin{cases} HC^{2 } = AC^{2 } - AH^{2 } \\ HC^{2 } = BC^{2 }- BH^{2 } \end{cases} \Rightarrow AC^{2 }- AH^{2 } = BC^{2 } - BH^{2 } \Leftrightarrow 5^{2 } - (\frac{a+b}{2}) ^{2 } = 4^{2 } - ( \frac{a-b}{2}) ^{2 }[/tex]
Трапецът $ABCD$ е описан около окръжност [tex]\Rightarrow a + b = AD + BC \Leftrightarrow a + b = 8 \Rightarrow a = 8-b[/tex]

[tex]5^{2 } - ( \frac{a + b}{2}) ^{2 } = 4^{2 } - ( \frac{a-b}{2}) ^{2 } \Leftrightarrow 5^{2 } - 4^{2 } = 4^{2 } - (4 - b)^{2 } \Leftrightarrow b^{2 } -8b + 9 =0[/tex]
[tex]D = 28 , b_{1,2 } = 4 \pm \sqrt{7} \Rightarrow a = 4 \mp \sqrt{7}[/tex]
$$a>b \Rightarrow a = 4 + \sqrt{7} , b = 4 - \sqrt{7} $$