Задачи от четириъгълници

[Гост]

11.49. Четириъгълник ABCD със страни AD=2 cm, DC=2AD и диагонал АС=2√7 вписан в окръжност. Намерете лицето му, ако в него може да се впише окръжност.

11.50. За четириъгълника ABCD е известно, че АВ=5, BC = 6 и AD = 4 и около него може да се опише и в него може да се впише окръжност. Намерете лицето на четириъгълника и радиуса на описаната и вписаната окръжност.

11.51. Точка Р е вътрешна за изпъкналия четириъгълник АВСD, който има лице S = 50 cm². Точките Р1 Р2 Р3 и Р4, са симетрични на точка Р относно средите на страните на четириъгълника ABCD. Намерете лицето на четириъгълника Р1Р2Р3Р4.

11.52. Да се намери лицето на изпъкнал четириъгълник, ако големината на острия ъгъл между диагоналите му е ф, а дължините на отсечките, свързващи средите на срещуположните му страни, са m и n.

11.53. В четириъгълника ABCD може да се впише окръжност с г=3 ст и около него да се опише окръжност. Ако диагоналът АС разполовява лицето на четириъгълника и АВ = 6 ст, намерете лицето на АВСD.

11.54. Докажете, че диагоналите в четириъгълник са перпендикулярни точно когато сборът от квадратите на двете негови срещуположни страни е равен на сбора от квадратите на другите две срещуположни страни.

11.55. Докажете, че за всеки изпъкнал четириъгълник със страни а, в, с, а и диагонали d1 и d2 изпълнено тъждеството а²+b²+c²+d² = d² + d2²+4MN², където М и N са средите на диагоналите на четириъгълника.

11.56. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с диаметър BD. Намерете лицето му, ако <ABC = 60° и в четириъгълника може да се впише окръжност с радиус 5 ст.

[Гост]

Само толкова ли задачи трябва да Ви решим и опишем разбрано като ги придружим с чертеж евентуално?!

[S.B.]

Моля отговорете колко от тези задачи Вие направихте опит да решите?Кои и какви трудности срещнахте?

[Гост]

За да решим задачата, ще използваме свойствата на четириъгълник, около който може да се **опише** окръжност (вписан четириъгълник) и в който може да се **впише** окръжност (допирателен четириъгълник).

Дадено:
* $AB = a = 5$
* $BC = b = 6$
* $AD = d = 4$
* Четириъгълникът $ABCD$ е едновременно **вписан** и **описан** (тангенциално-хордов четириъгълник).

### 1. Намиране на страната CD (c)

**Свойство на описан (допирателен) четириъгълник:** Сборовете на срещуположните страни са равни.
$$AB + CD = BC + AD$$
$$a + c = b + d$$
$$5 + c = 6 + 4$$
$$5 + c = 10$$
$$c = CD = 5$$

### 2. Намиране на лицето на четириъгълника (S)

За едновременно вписан и описан четириъгълник (тангенциално-хордов четириъгълник) лицето може да се намери по формулата на **Брахмагупта** (тъй като е вписан) или по формулата на **Рейнхард** (специална за този тип четириъгълници).

Тъй като е вписан, можем да използваме формулата на Брахмагупта:
$$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$
където $s$ е полупериметърът:
$$s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{5+6+5+4}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Заместваме във формулата за лицето:
$$S = \sqrt{(10-5)(10-6)(10-5)(10-4)}$$
$$S = \sqrt{5 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}$$
$$S = \sqrt{(5 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 6)}$$
$$S = \sqrt{25 \cdot 24}$$
$$S = 5 \sqrt{24}$$
$$S = 5 \sqrt{4 \cdot 6}$$
$$S = 5 \cdot 2 \sqrt{6}$$
$$\mathbf{S = 10 \sqrt{6}}$$

### 3. Намиране на радиуса на вписаната окръжност (r)

**Свойство на описан (допирателен) четириъгълник:** Лицето е равно на полупериметъра по радиуса на вписаната окръжност.
$$S = s \cdot r$$
$$r = \frac{S}{s}$$
$$r = \frac{10 \sqrt{6}}{10}$$
$$\mathbf{r = \sqrt{6}}$$

### 4. Намиране на радиуса на описаната окръжност (R)

За тангенциално-хордов четириъгълник радиусът на описаната окръжност $R$ може да се намери чрез диагоналите $p$ и $q$ по формулата на Брахмагупта за вписан четириъгълник:
$$R = \frac{\sqrt{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}}{4S}$$

Но има и по-удобна формула, която използва дължините на страните. Първо трябва да намерим дължините на диагоналите $p=AC$ и $q=BD$.

**Формули за диагоналите в тангенциално-хордов четириъгълник:**

$$p^2 = AC^2 = \frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}$$
$$q^2 = BD^2 = \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}$$

Заместваме със стойностите: $a=5, b=6, c=5, d=4$.
$$ac = 5 \cdot 5 = 25$$
$$bd = 6 \cdot 4 = 24$$
$$ad = 5 \cdot 4 = 20$$
$$bc = 6 \cdot 5 = 30$$
$$ab = 5 \cdot 6 = 30$$
$$cd = 5 \cdot 4 = 20$$

$$ac+bd = 25+24 = 49$$
$$ad+bc = 20+30 = 50$$
$$ab+cd = 30+20 = 50$$

$$p^2 = \frac{(50)(49)}{50} = 49 \implies p = 7$$
$$q^2 = \frac{(50)(49)}{50} = 49 \implies q = 7$$

Тъй като $AC = BD = 7$, четириъгълникът е **равнобедрен трапец** (тъй като е вписан и има равни диагонали).

**Формула за R за вписан четириъгълник:**
$$R = \frac{p q \sqrt{ac+bd}}{4S}$$
Всъщност, тъй като $p=q$, може да се използва и по-простата формула, която не изисква $p$ и $q$ да са предварително намерени:
$$R = \frac{1}{4S} \sqrt{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}$$

$$R = \frac{1}{4 \cdot 10 \sqrt{6}} \sqrt{(49)(50)(50)}$$
$$R = \frac{1}{40 \sqrt{6}} \sqrt{49 \cdot 2500}$$
$$R = \frac{1}{40 \sqrt{6}} \cdot 7 \cdot 50$$
$$R = \frac{350}{40 \sqrt{6}} = \frac{35}{4 \sqrt{6}}$$

Рационализираме знаменателя:
$$R = \frac{35}{4 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{35 \sqrt{6}}{4 \cdot 6}$$
$$\mathbf{R = \frac{35 \sqrt{6}}{24}}$$

[Гост]

От https://gemini.google.com/