Система уравнения

[Добромир Глухаров]

...Искам да ви попитам специално за чертежите-коя програма се ползува?

Аз използвам CaRMetal по примера на Ганка Симеонова (monika_at), но на този сайт има друга добра програма - GeoGebra - в раздел Геометрия - http://www.math10.com/en/geometry/geogebra/geogebra-bg.html.

[inveidar]

Не ли най-добре да се постъпи така за уравнението [tex]\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}[/tex]?

Полагаме [tex]2-x=u^3, x-1=v^2[/tex], получаваме системата [tex]\left|\begin{array}{l} 2-x=u^3\\ x-1=v^2 \\ u=1-v \end{array} \right.[/tex] и от нея намираме системата [tex]\left|\begin{array}{l}u^3+v^2=1 \\ v=1-u \end{array} \right.[/tex]

Така се получава [tex]u^3+u^2-2u+1=1[/tex] или [tex]u(u^2+u-2)=0[/tex] и за [tex]u[/tex] намираме [tex]u=0, u=1, u=-2[/tex] откъдето за [tex]x[/tex] сер получават [tex]2-x=0^3 \Rightarrow x=2; 2-x=1^3 \Rightarrow x=1; 2-x=-8 \Rightarrow x=10[/tex].

С непосредствена проверка се установява, че и трите са решения.
[tex]\sqrt[3]{2-2}=1-\sqrt{2-1}[/tex], т.е. 0=0

[tex]\sqrt[3]{2-1}=1-\sqrt{1-1}[/tex], т.е. 1=1

[tex]\sqrt[3]{2-10}=1-\sqrt{10-1}[/tex], т.е. -2=-2,

следователно и трите са решения.

Не, Митов. По-добре е [tex]\sqrt[3]{2-x} =u, \sqrt{x-1} =v[/tex] и [tex]v\ge 0[/tex]. Това е стандартното полагане и при него не е необходима конкретна проверка при получаването на неприятни корени.

[kmitov]

Ми добре, щом казваш.
Не е ли все едно [tex]x-1=v^2[/tex] от където следва, че [tex]x-1\ge 0[/tex]

и

[tex](\sqrt{x-1}=v) \cap (v \ge 0)?[/tex]

[math10.com]

1.Изобщо не е удобна тази програма,която пишете.
2.Не позволява да се правят чертежи.
3.Всеки има право да си напише мнението така,както пожелае.
4.Всеки има право и да не чете мнението всекиму.
5.Математиката е точна наука-или верен,или неверен отговор.
6.Как е решена задачата,няма значение.Въпросът е да бъде вярно решена.
7.Не е важно да си знаещ,а е важно другият срещу теб да те разбере.От Вас специално се прилагат методи,които изобщо не са разбираеми за средния ученик.Напр. за решение на полиноми и т.н. -евклидово пространство.Абсолютни глупости.
Приятен ден Ви желая!

Реплика и от мен.
По точка 1:Не е редно подобна констатация да се прави от човек , който не е опитал да напише нещо с LaTeX. Администратора е направил помощен панел и бързи бутони за много функции , а в интернет има пълно ръководство за работа.
По точка 2: Да LaTeX е текстов редактор , който не прави чертежи.За чертежи е необходим страничен софтуер.За чертаене аз лично ползвам "GeoGebra",която е съвместима с "LaTeX".
По точки 3 ,4 и 5 съм съгласен , но нека не забравяме , че обикновено ученици молят за помощ и прочитат каквото им напишем.Така че нека се стараем повече написаното да бъде коректно.Ако нещо не сме сигурни по-добре да не пишем.Сканирани решения на задачите са си ок , но все пак да намалим "да се чете еди как си..." или "в предния ми пост решението не е вярно.Ето го вярното.".Все пак това не е бягане и тук не се състезаваме кой ще напише решение първи.
По точка 6: Как е решена задачата има значение.Желателно е решението да бъде съобразено с материала изучаван от питащият.Желателно е и да търсим най-краткото и лесно решение , а не да решаваме задача от еднакви триъгълници с аналитична геометрия ,та дори и да е в раздел "Висша математика".
По точка 7:"От Вас специално се прилагат методи,които изобщо не са разбираеми за средния ученик" това е много общо казано.Всички във форума под общ знаменател "Вас".Аз лично избягвам прилагането на методи от "Висша математика".Нестандартни методи от елементарна математика за олимпиади и състезания да , но те са достатъчно лесни за разбиране от средно статистическия ученик.Допустими са за използване в училище и мисля ,че са полезни въпреки, че учителите не са ги предавали.

Забележка към потребитела "МЕНКА".Преглеждай от време на време , какво са писали по дадена тема и другите потребители.Ако за дадена задача е написано коректно и приемливо решение не е необходимо да се пише друго особено когато то е по-тромаво и трудно за разбиране.Преди да публикуваш дадено решение го прегледай за грешки.Човешко е да се греши , но тук е желателно да внимаваме.Допускаш грешки от бързане , а не знам за къде бързаш.По-добре реши една задача като хората отколкото 4-5 със забележки......В няколко теми имаше въпрос към автора на задачата , какви са отговорите.За протокола , не всички ученици молещи за помощ знаят отговорите на задачите.Не всички учители дават домашно от учебника ,на което знаем отговорите.Тук не се опитваме да си сверяваме отговорите , а се опитваме да помагаме на питащите.Във форума редовно пишат 5-6 активни учитела по математика, понякога се включват преподаватели от ФМИ , бивши национални и регионални състезатели по математика , студенти от ФМИ и доста любители с явен интерес към предмета.Така че надскачането е излишно.Всеки може да попадне на някой по-компетентен от него

[loving_math]

Нищо лично, Менка, но назад във времето се рекламирахте като човек, даващ уроци по мат на всички образователни нива. А написаното във форума ще ви служи при това положение като визитка. Оттам следва да е по-изпипано всичко.

[inveidar]

Ми добре, щом казваш.
Не е ли все едно [tex]x-1=v^2[/tex] от където следва, че [tex]x-1\ge 0[/tex]

и

[tex](\sqrt{x-1}=v) \cap (v \ge 0)?[/tex]

Е, нали това казвам. Не е все едно, защото от това, което си написал не следва [tex]v\ge0[/tex].
А [tex]x-1\ge0[/tex] е от ДМ-то.

[kmitov]

Съгласен съм с всичко. Дадох ти точка като анонимен, ще ти дам и една като кмитов, само ми обясни кое трябва да е неотрицателно [tex]x-1[/tex] или [tex]v[/tex]? И кое е грешно в моето решение?

[inveidar]

Съгласен съм с всичко. Дадох ти точка като анонимен, ще ти дам и една като кмитов, само ми обясни кое трябва да е неотрицателно [tex]x-1[/tex] или [tex]v[/tex]? И кое е грешно в моето решение?

По принцип [tex]x-1[/tex] трябва да е неотрицателно, защото няма квадратен корен от отрицателно число. Това е ДМ. Като положиш като мен, обаче, и напишеш [tex]v\ge0[/tex], то намирайки [tex]v[/tex] (естествено [tex]v\ge0[/tex]!) заместваш в моето полагане и повдигаш на втора степен. Това ти гарантира, че [tex]x-1=v^2[/tex] е неотрицателно и не ти трябват никакви проверки повече.
В твоето решение няма грешка и това никога не съм го твърдял. Просто ти казах и по-горе, че трябва да направиш проверка в уравнението, както си го направил. Пак по-горе ти казах, че това не е удобно, когато се получат неприятни стойности за хикс ( не цели и дробни числа, а изрази, съдържащи квадратни корени, например). Сега изясни ли ти се ситуацията или пак да повтарям?!

[math10.com]

Никой не е казал, че имаш грешка в решението.Просто стандартното полагане при такива задачи е това , за което ти пише "inveidar".Между другото решавайки спрямо [tex]u[/tex] въобще не трябва да правиш проверка освен с ДМ.Ето едно малко нестандартно решение от мен.

Намираме ДМ [tex]x\ge 1[/tex]

[tex]\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}[/tex] (умножаваме от двете страни равенството с [tex]1+\sqrt{x-1}[/tex])

[tex]\Right (1+\sqrt{x-1})\sqrt[3]{2-x}=(1+\sqrt{x-1})(1-\sqrt{x-1})[/tex]

[tex]\Right (1+\sqrt{x-1})\sqrt[3]{2-x}=2-x[/tex]

[tex]\Right (1+\sqrt{x-1})\sqrt[3]{2-x}=\sqrt[3]{2-x}.\sqrt[3]{(2-x)^2}[/tex] (правим проверка за [tex]x=2[/tex] и установяваме че е решение.След това допускаме [tex]x\ne 2[/tex] и съкращаваме..)

[tex]\Right \sqrt[3]{(2-x)^2}=1+\sqrt{x-1}[/tex] Сега събираме с даденото по условие и получаваме квадратно уравнение:

[tex]t^2+t-2=0[/tex] , където [tex]t=\sqrt[3]{2-x}[/tex]

На там е ясно.

[kmitov]

Доволен съм от разясненията. Така ще правя по-нататък. До сега учех, че при решаване на ирационални уравнения има два начина: или с определяне на ДМ, или с проверка. (Според мен и двата са еднакво стандартни).

Учех, че определянето на ДМ може да стане и след като се намерят корените и се види, че непосредствената проверка е неудобна.

Това е.

[inveidar]

Между другото решавайки спрямо [tex]u[/tex] въобще не трябва да правиш проверка освен с ДМ.

Сигурен ли си?

[math10.com]

Между другото решавайки спрямо [tex]u[/tex] въобще не трябва да правиш проверка освен с ДМ.

Сигурен ли си?

Да сигурен съм

[tex]\sqrt[3]{2-x}=u \Leftrightarrow 2-x=u^3[/tex]

[tex]f(u)=u^3+u^2-2u[/tex] е дефинирана за всяко[tex]u\in R[/tex]

[tex]u(x)=\sqrt[3]{2-x}[/tex] е дефинирана за всяко[tex]x\in R[/tex]

[inveidar]

Въпросът ми е сигурен ли си, че не трябва да се провери дали v-то не е отрицателно? Във друга задача така ли ще бъде?

[math10.com]

Аз затова точно написах:

......... решавайки спрямо [tex]u[/tex] не трябва да правиш проверка освен с ДМ.

Ако успеем да изразим всичко спрямо [tex]u[/tex] без ограничения за [tex]v[/tex] няма проблем , но ако не можем ,то трябва да правим проверка за [tex]v[/tex]