Функция -да се интегрира и да се намери лицето и обема между

[Гост]

Добър вечер,

Задачата е следната : x-2 / (x^2 - 4x + 3 ) ^ ( 1/2 )

Трябва да се интегрира и да се намери лицето и обема между хоризонталата,f и x=4 и x=5.

Благодаря предварително !

[Anubis]

[tex]f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}}[/tex]

Оста [tex]Ox[/tex] има уравнение [tex]y=0[/tex]. Ние търсим лицето между линиите [tex]f(x)[/tex] и [tex]y[/tex]. Това лице по принцип е равно на

[tex]\int_{a}^{b}(y_{1}-y_{2}) \operatorname{d}x[/tex], където за всяко [tex]x \in [a; \, b][/tex] е изпълнено [tex]y_{1} \ge y_{2}[/tex]. В случая трябва да съобразим коя линия

образно казано лежи "над" другата в [tex][4; \, 5][/tex]. Вижда се, че там [tex]f(x) \ge y[/tex], т. е. лицето е

[tex]S = \int_{4}^{5}(f(x)-y)\operatorname{d}x = \int_{4}^{5} \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}} \operatorname{d}x = \frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4x+3}} \operatorname{d}x = \frac{1}{2}\int_{4}^{5}\frac{\operatorname{d}(x^2-4x+3)}{\sqrt{x^2-4x+3}}[/tex].

Сещаме се, че [tex]\int{\frac{1}{\sqrt{u}}}\operatorname{d}u = 2\sqrt{u}[/tex], т. е. [tex]\frac{1}{2}\int_{4}^{5}\frac{\operatorname{d}(x^2-4x+3)}{\sqrt{x^2-4x+3}} = \frac{1}{2}.2.\sqrt{x^2-4x+3} |_{4}^{5} = \sqrt{x^2-4x+3} |_{4}^{5} = \sqrt{8}-\sqrt{3}[/tex].

Обемът на тялото, което се получава, като завъртим [tex]f(x)[/tex] около хоризонталната ос, е [tex]V = \pi^{2} \int_{4}^{5} f^2(x) \operatorname{d}x[/tex].

[tex]V = \pi^{2} \int_{4}^{5}{\frac{(x-2)^2}{(x-1)(x-3)}}\operatorname{d}x; \, x-2=t \Rightarrow x-1=t+1, \, x-3=t-1, \, \operatorname{d}x=\operatorname{d}t, \, t \in [2; \, 3][/tex]

[tex]\pi^{2} \int_{2}^{3} \frac{t^2}{(t+1)(t-1)} \operatorname{d}t = \pi^{2}\int_{2}^{3}\frac{t^2}{t^2-1}\operatorname{d}t = \pi^{2} \int_{2}^{3}\frac{t^2+1-1}{t^2-1}\operatorname{d}t = \pi^{2} \left ( \int_{4}^{5}\operatorname{d}t + \int_{4}^{5}\frac{\operatorname{d}t}{t^2-1} \right ) = \pi^{2} \left ( 1+\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2} \right )[/tex]