Многочлен от 3-та степен в знаменател

[angelica.vmerchant]

Ще може ли някой да ми помогне, тъй като не мога да реша следната задача:

[tex]\frac{1}{2x + 3} - \frac{1}{x^{2} - 16} + \frac{1}{2x^{2} + 11x + 12} - \frac{x - 8}{2x^{3} + 3x^{2} - 32x - 48} = 0[/tex]


ПП: Много ще съм ви благодарна, ако ми помогнете! : )

[ganka simeonova]

Разложи където е необходимо на множители:
[tex]x^2-16=(x-4)(x+4)[/tex]
[tex]2x^2+11x+12=(x+4)(2x+3)[/tex]
[tex]2x^3+3x^2-32x-48=(x-4)(x+4)(2x+3)[/tex]

[angelica.vmerchant]

Разложи където е необходимо на множители:
[tex]x^2-16=(x-4)(x+4)[/tex]
[tex]2x^2+11x+12=(x+4)(2x+3)[/tex]
[tex]2x^3+3x^2-32x-48=(x-4)(x+4)(2x+3)[/tex]

Ок, ще може ли да ме научите как се разлага многочлена от 3-та степен? Другите успявам, но този не знам как. ;С

[ganka simeonova]

Това си е цяла наука, разлагането:) Кой клас си? За да знам, какво да напиша?

[angelica.vmerchant]

По принцип ще съм 12-ти. Сега се опитвам да наваксам това, което съм пропуснала през годините. Предполагам, че ще разбера, както и да го напишете. : )

[ganka simeonova]

1) Разлагането на всеки многочлен, ако е с рационални коефициенти и има рационални корени става успешно със схемата на Хорнер.
2) Но, ако не си профил 'математика', надали си я учила. А тук във форума ще ми е трудно да я опиша. Ако искаш да я разбереш, намери си учебник за 9 клас ПП.
Но, иначе, как да подходим.
Основно правило: Ако едно число [tex]x=a[/tex] заместено в даден многочлен го превръща в 0, то винаги единият множител в разлагането е [tex]x-a[/tex]
Когато имаш многочлен от 3-та степен и намериш това [tex]x=a[/tex] е добре от[tex]x^3[/tex] да извадиш [tex]a^3[/tex], защото така ще получиш [tex]x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)[/tex]
В твоята задача аз ще се изхитря. Понеже от предните два знаменателя установих наличието на множител [tex]x+4[/tex], ще проверя, дали [tex]x=-4[/tex]анулира многочлена от 3 степен. Оказва се, че го анулира. Затова:
[tex]2x^3+128+3x^2-32x-48-128=2(x^3+64)+3x^2-32x-176[/tex]
[tex]=2(x+4)(x^2-4x+16)+(x+4)(3x-44)=(x+4)(2x^2-5x-12)=(x-4)(x+4)(2x+3)[/tex]

[ganka simeonova]

Опитай се да разложиш:
[tex]x^3+2x^2-5x-6[/tex]

[angelica.vmerchant]

[tex]2x^3+128+3x^2-32x-48-128[/tex]

Ок, само не разбирам защо прибавяме 128 към [tex]2x^3[/tex] и се опитваме да ги комбинираме. Нали трябва да извадим, за да се получи 0.


[tex]x^3+2x^2-5x-6[/tex] Тук винаги ли трябва да търся някакви подходящи числа? Няма ли как само чрез гледане да разбера кое е числото?

[tex](x^3 - 8) + 2x^2 - 5x - 6 + 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) + (x - 2)(2x - 1) = (x - 2)(x^2 + 4x + 3) = (x - 2)(x + 1)(x + 3)[/tex]

ПП: Не съм учила за Хорнер, добро предположение.

[ganka simeonova]

[tex]x=-4[/tex]анулира многочлена. Тогава трябва да имаме множител от вида [tex]x-(-4)=x+4[/tex] пред третата степен на х имаш коефициент 2. Тогава за да получиш множител [tex]x^3-(-4)^3=x^3+4^3=x^3+64[/tex]трябва да прибавиш 128 и да го извадиш после.
[tex]2x^3+128=2(x^3+64)=2(x+4)(x^2-4x+16)[/tex]

[angelica.vmerchant]

Ок, само не разбирам защо прибавяме 128 към [tex]2x^3[/tex] и се опитваме да ги комбинираме. Нали трябва да извадим, за да се получи 0.

В смисъл, ако извадя от [tex]2x^3[/tex] 128, няма ли пак да бъде формула и пак да може да се реши задачата. Има ли значение дали събирам или изваждам?

[ganka simeonova]

Специално в тази задача не, защото 4 и (-4) са корени. Тогава дали ще прибавиш или извадиш 128 е без значение, за да разложиш.
Но всичко зависи от знака на числото, което анулира многочлена.

[angelica.vmerchant]

Ок, благодаря много. Радвам се, че има хора като вас.

ПП: Само не разбрах дали има начин само чрез гледане да се разбери кое е числото 'а'?

[ganka simeonova]

Ок, благодаря много. Радвам се, че има хора като вас.

ПП: Само не разбрах дали има начин само чрез гледане да се разбери кое е числото 'а'?

Чрез "гледане"? Какво имаш предвид? То и този метод е чрез гледане. Установяваш дали дадено число е корен. Понякога става бързо, понякога не винаги:)
Друга врътка. Ако сборът от коефициентите на даден многочлен е 0, то числото х=1 е негов корен и в разлагането участва (х-1)

[ganka simeonova]

Разложи [tex]x^3-5x^2+3x+1[/tex]

[angelica.vmerchant]

Ами например:

[tex]x^2 + x - 2 = 0[/tex]

тук без да решавам уравнението мога да кажа, че корените са -2 и 1.
Като умножа числото 'а' по 'c' и после видя от произведението им сбора на кои две числа дава 'b'. После ги записвам като множители (x + едното събирамето)(x + другото събираемо). В случая:

(x + 2)(x - 1) = 0

и оттук следва, че [tex]x_{1} = -2[/tex] и [tex]x_{2} = 1[/tex].

[ganka simeonova]

Да, при квадратните уравнения е лесно:) Аз също ги решавам така. При уравненията от по-висока степен е по-трудоемко.

[amsara]

Може и по друг начин да го "изиграеш" този многочлен от 3 степен.

1. Досещаш се, както е направила Госпожата, че вероятно x+4 е множител в разлагането. Заместваш с -4 и разбираш, че е така.
2. Значи полиномът ти в разложен вид изглежда така: [tex](x+4)(2x^2+ax+b)[/tex]. Как да намерим обаче коeфициентите a и b?
3. Разкриваме скобите и получаваме:
[tex]2x^3+ax^2+bx+8x^2+4ax+4b=2x^3+(a+8)x^2+(4a+b)x+4b[/tex]
4. Приравняваме коефициентите.
[tex]4b=-48 => b=-12; a+8=3 => a=-5[/tex]
5. [tex](x+4)(2x^2-5x-12)[/tex]
6.[tex]2x^2-5x-12=0; x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25+96} }{ 4}=\frac{5\pm11 }{4 } =4; -\frac{3}{ 2} =>2(x-4)(x+\frac{3}{2 }) =[/tex]
[tex]=(x-4)(2x+3)[/tex]
7.[tex](x+4)(x-4)(2x+3)[/tex]

ПП Това са все идеи, но за конкретния полином най-краткият и лесен вариант за разлагане е познатият от 7 клас с изнасяне на общ множител.
[tex]2x^3+3x^2-32x-48=x^2(2x+3)-16(2x+3)=(2x+3)(x^2-16)= (2x+3)(x-4)(x+4)[/tex]

[angelica.vmerchant]

amsara, страхотен инструмент. Мерси много! *реверанс*