Проблем с уравнение z черта = z^3

[Гост]

Дадено ми е следното уравнение
Z черта = Z^3 като числата принадлежат на множеството на комплексните числа.
Въпроса ми екак да го реша, предполагам че Z черта ще да е комплексно спрегнатото на Z, но в условието не ми е дадено Z.

[Гост]

[tex]\overline{z}=z^3 \Rightarrow \overline{z}z=z^4 \Rightarrow |z|^2=z^4=|z|^4 \Rightarrow |z|^2=|z|^4[/tex].

[Гост]

това ли е решението, а може ли малко обяснение, първо аз немога да разбера целта на уравнението и каква форма на решение на очаква.

[rahul12]

Може ли по-подробно решение? ???????????

[s.karakoleva]

[tex]\bar{z}=z^3[/tex]
[tex]z=a+bi, \quad \bar{z}=a-bi[/tex], [tex]a,b\in \cal R[/tex]
[tex]a-bi=(a+bi)^3[/tex]
[tex]a-bi=a^3+3a^2bi+3ab^2i^2+b^3i^3[/tex]
[tex]a-bi=a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i[/tex]
[tex]\left|
\begin{array}{ccc}
a& = & a^3-3ab^2 \\
-b& = & 3a^2b-b^3 \\
\end{array}
\right.[/tex]

[tex]\left|
\begin{array}{l}
a(a^2-3b^2-1)=0 \\
b(b^2-3a^2-1)=0 \\
\end{array}
\right.[/tex]

[tex]\left|
\begin{array}{l}
a=0 \\
b=0\\
\end{array}
\right.\Rightarrow a=b=0[/tex]
или
[tex]\left|
\begin{array}{l}
a=0 \\
b^2-3a^2-1=0 \\
\end{array}
\right.\Rightarrow a=0, b=\pm 1[/tex]
или
[tex]\left|
\begin{array}{l}
a^2-3b^2-1=0 \\
b=0 \\
\end{array}
\right.\Rightarrow a=\pm 1, b=0[/tex]
или
[tex]\left|
\begin{array}{l}
a^2-3b^2-1=0 \\
b^2-3a^2-1=0 \\
\end{array}
\right.[/tex] - няма реални корени.

[tex]\Rightarrow z_1=0, z_2=i, z_3=-i, z_4=1, z_5=-1[/tex]