Формули на Виет

[pepsi_v]

Имам следните изрази: y₁= x₁³+x₂
y₂=x₂³+x₁

как ставаше с тази 3-та степен?

[admin]

Кое как става?
Какво искате да направите/намерите?

[pepsi_v]

имам x²-2x+5
x₁ и x₂ са му корени.

y₁= x₁³+x₂
y₂=x₂³+x₁
те са корени на ново уравнение...което трябва да съставя... и y₁ и y₂ са корени на новото. Затова ми трябва да изразя y₁ и y₂ с формулите на виет... нещо като опростяване...и да достигна до сбора и произведенията на 2-та корена x1 и x2.

[pal702004]

А, това вече е съвсем друга работа. Значи трябва да съставиш квадратно уравнение от y. Значи ти трябва да изразиш
[tex]\\y_1+y_2=\cdots\\
y_1y_2=\cdots[/tex]

Между другото, по-удобно за изчисляването за сумите [tex]S_n=x_1^n+x_2^n[/tex] е да се изведе рекурентна функция, за да не се налага да пишеш километрични разлагания докато стигнеш до [tex]x_1+x_2[/tex]

[tex]x_1^n+x_2^n=(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})(x_1+x_2)-x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})[/tex]

[tex]\\S_0=2\\
S_1=2\\
S_n=2S_{n-1}-5S_{n-2}[/tex]

На теб ще ти трябват до [tex]S_4[/tex]

[pepsi_v]

Никога не съм решавал с S, но открих:
y₁+y₂=p
y₁y₂=q

и уравнението ми става x²-p+q

като заместих в първото и преобразувах:
p= x₁³+x₂+x₂³+x₁
q= (x₁³+x₂)(x₂³+x₁)

p го получих да е =(-24) след като разложих израза, но за q не мога да се сетя....


отговорът на задачата е x²+24x+144=0

[kmitov]

[tex](x_1^3+x_2)(x_2^3+x_1)=(x_1x_2)^3+x_1^4+x_2^4+x_1x_2=(x_1x_2)^3+(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2+x_1x_2[/tex]

[tex]=(x_1x_2)^3+[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-2(x_1x_2)^2+x_1x_2[/tex]

[tex]=5^3+[2^2-2.5]^2-2.5^2+5=125+36-50+5=166-50=116[/tex]