Аритметична прогресия

[Honda]

1.Да се намери [tex]a_1[/tex] и d в аритметична прогресия за която:
[tex]\begin{tabular}{|l}a_5+a_1=22 \\ a_8-a_5=6\end{tabular}[/tex]

2.Намерете [tex]a_1[/tex] и [tex]S_n[/tex] на аритметичната прогресия за която:
d=-[tex]\frac{1}{4}[/tex] n=13 [tex]a_n[/tex]=1

3.Докажете че редицата [[tex]a_n[/tex]] е растяща:
[tex]a_n[/tex]= [tex]\frac{3_n-1}{n+3}[/tex]

4.Да се намери a_1 и d в аритметичната прогресия за която:
[tex]\begin{tabular}{|l}a_2+a_5-a_3=10\\a_1+a_6=17\end{tabular}[/tex]

5.Намерете [tex]a_n[/tex] и [tex]S_n[/tex] на аритметичната прогресия за която:
[tex]a_1[/tex]=4 d=- [tex]\frac{1}{4}[/tex] n=13

6.Докажете че редицата a_n е намаляваща:
[tex]a_n[/tex]=2n-n^2

Благодаря предварително!!!!!!!

[kmitov]

1. [tex]\left|\begin{tabular}{l} a_5+a_1=22\\ a_8-a_5=6\end{tabular} \right.[/tex]

[tex]a_8=a_1+7d, \ \ \ \ a_5=a_1+4d[/tex]

Системата става
[tex]\left|\begin{tabular}{l} a_1+4d+a_1=22\\ a_1+7d-a_1-4d=6\end{tabular} \right.[/tex]
[tex]\left|\begin{tabular}{l} 2a_1+4d=22\\ 3d=6\end{tabular} \right.[/tex]
[tex]d=3, \ \ \ \ \ 2 a_1+12 =22[/tex]
[tex]d=3, \ \ \ \ \ a_1 =5[/tex]


2. [tex]d=-\frac{1}{4}, \ \ \ \ n=13, \ \ \ \ a_n=1[/tex]

[tex]a_{13}=a_1+12.(-1/4)=1[/tex]

[tex]a_1=4[/tex]

[tex]S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}.13=\frac{4+1}{2}.13=\frac{65}{2}[/tex]

[kmitov]

3. [tex]a_n=\frac{3n-1}{n+3}, \ \ \ \ \ a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{(n+1)+3}=\frac{3n+2}{n+4}[/tex]

[tex]a_{n}-a_{n+1}=\frac{3n-1}{n+3}-\frac{3n+2}{n+4}=\frac{(3n-1)(n+4)+(3n+2)(n+3)}{(n+3)(n+4)}[/tex]

[tex]=\frac{3n^2+11n-4+3n^2+11n+8}{(n+3)(n+4)}=\frac{6n^2+22n+4}{(n+3)(n+4)}[/tex]

За квадратния тричлен [tex]6x^2+22x+4=0[/tex] имаме [tex]D=11^2-24=121-24=97[/tex]
корените са [tex]x_{1,2}=\frac{-11 \pm \sqrt{97}}{6}[/tex]. Те са отрицателни така че за всяко [tex]x>0[/tex]
[tex]6x^2+22x+4>0[/tex]

Taка за всяко [tex]n=1,2,\ldots[/tex], [tex]a_{n}-a_{n+1}=\frac{6n^2+22n+4}{(n+3)(n+4)}>0[/tex]

Следователно редицата е намаляваща.