Да се намерят сумите

[abc]

Да се намерят сумите:
Sn=1+2.3+3.7+...+ n(2^n -1)

[Knowledge Greedy]

Въпросът е поставен правилно, макар от пръв поглед да се вижда , че има само една сума.
Разделяме [tex]S_{n}[/tex] на две: [tex]A=1.2^1+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n[/tex] и от нея ще извадим сумата
[tex]B=1+2+3+...+n[/tex]. Втората е ясна, но за първата ми трябва информация за кой клас - до какво ниво
да бъде обяснението.

[abc]

11 клас в математическа гимназия

[kmitov]

Въпросът е поставен правилно, макар от пръв поглед да се вижда , че има само една сума.
Разделяме [tex]S_{n}[/tex] на две: [tex]A=1.2^1+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n[/tex] и от нея ще извадим сумата
[tex]B=1+2+3+...+n[/tex]. Втората е ясна, но за първата ми трябва информация за кой клас - до какво ниво
да бъде обяснението.

С материал от средното училище може би е добре така да се напише
[tex]A=(2^1+2^2+2^3+\ldots+2^n)+(2^2+2^3+\ldots+2^n)+\ldots+(2^{n-1}+2^n)+2^n[/tex]
[tex]=2.\frac{2^n-1}{2-1}+2^2\frac{2^{n-1}-1}{2-1}+\ldots+2^{n-1}.\frac{2^2-1}{2-1}+2^n.\frac{2-1}{2-1}[/tex]
[tex]=2.(2^n-1)+2^2(2^{n-1}-1)+\ldots+2^{n-1}.(2^2-1)+2^n.(2-1)[/tex]
[tex]n.2^{n+1}-(2+2^2+2^3+\ldots+2^n)=n.2^{n+1}-2\frac{2^n-1}{2-1}=n2^{n+1}-2^{n+1}+2=(n-1)2^{n+1}+2[/tex]

[Knowledge Greedy]

Подробно. Записваме [tex]S_{n}[/tex] така:
[tex]S_{n}=1.(2^1-1)+2.(2^2-1)+3.(2^3-1)+...+n(2^n-1)[/tex].
Разкриваме скобите и групираме всички положителни събираеми, отделно всички отрицателни.
[tex]S_{n}=1.2^1+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n-(1+2+3+...+n)[/tex].
Пресмятаме сумата[tex]A=1.2^1+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n[/tex]. За тази цел умножаваме по [tex]2[/tex], получава се
[tex]2A=1.2^2+2.2^2+3.2^4+...+n.2^{n+1}[/tex].

[Knowledge Greedy]

Продължение
Изваждаме: [tex]2A-A=1.2^2+2.2^3+2.2^4+...+n.2^{n+1} - (1.2^1+2.2^2+2.2^3+...+n.2^{n})[/tex]
След приведение [tex]A=n.2^{n+1} - (2^1+2^2+2^3+...+2^{n})[/tex]
или още [tex]A=n.2^{n+1} - 2\frac{2^{n}-1}{2-1}[/tex], което дава
[tex]A=(n-1).2^{n+1} + 2[/tex] - полученото от колегата К.Митов.

[pal702004]

В 11 клас, още повече математическа гимназия, може да се използват и производни За сумата
[tex]1\cdot 2^1+2\cdot 2^2+\cdots n\cdot 2^n[/tex]

[tex]\\x+2x^2+3x^3+\cdots nx^n=x(1+2x+3x^2+\cdots nx^{n-1)}=\\
=x(1+x+x^2+x^3+\cdots x^n)'=x\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)'=\\
=x\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}[/tex]

В случая [tex]x=2[/tex]

[kmitov]

Все си мисля, че в последното решение е използван и определен интеграл, което не се учи нито в 11, нито в кой да е клас на средното училище. А иначе производни се учат в 12 клас.