Полиноми с общ корен

[Zarrie]

Кога и при какви условия два или повече полинома имат общ корен и как се намират всичките стойности на параметър, за който полиномите имат общ корен?
Благодаря за отговора предварително!

[MENKA]

Приравнявате ги.При повече полиноми ,се стига и до система уравнения.

[MENKA]

Преди няколко дни Ви препоръчах един сборник задачи,подходящ за кандидатстване във ФМИ.Вярното име на автора е Георги Паскалев.

[grav]

Ако приравниш два полинома, няма да намериш общите им корени.

[kmitov]

Ако приравниш два полинома, няма да намериш общите им корени.

Според мен, сигурно ще получиш и други числа, за които двата полинома са равни, но със сигурност ще получиш и числата, за които и двата полинома са едновременно равни на 0.

[grav]

Според мен, сигурно ще получиш и други числа, за които двата полинома са равни, но със сигурност ще получиш и числата, за които и двата полинома са едновременно равни на 0.

Именно, и тези числа, които не са общи корени, могат да са произволно много.

[Zarrie]

MENKA, благодаря много за уточнението. Наистина тогава не успях да го открия, но вече го намерих и даже го имам.
Към всички - опитах с приравняване, но получих други стойности за параметъра, които не фигурираха в отговора? Ето я задачата.

[monika_at]

Зари, нека уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има корени [tex]u[/tex]и [tex]v[/tex].
Тогава, за да имат двете уравнения поне един общ корен, трябва корен на първото или и двата корена на първото да са корени и на второто, т.е. да е изпълнено [tex]g(u)g(v)=0[/tex]
От формулите на Виет за уравнението [tex]f(x)=0[/tex]=>[tex]u+v=-a; uv=1[/tex]

[tex]g(u)g(v)=(u^2+u+a)(v^2+v+a)=0[/tex]
Разкриваме скобите и след прегрупиране, получаваме:

[tex]u^2v^2+uv(u+v)+a[(u+v)^2-2uv]+uv+a(u+v)+a^2=0[/tex]. Заместваме с формулите на Виет и след преобразуване, получаваме:

[tex]a^3-3a+2=0=>(a+2)(a-1)^2=0=>a_1=1; a_2=-2[/tex]

Според мен е редно да се направи проверка с всяка от получените стойности в уравненията, за да се установи знака на дискриминантата. Ако тя е отрицателна, числото не е решение. В случая с [tex]a=1[/tex] двете уравнения имат отрицателна дискриминанта и нямат реални корени. Иначе комплексни, дал Господ
При [tex]a=-2=>f(x)=(x-1)^2=0=>u=v=1; g(x)=x^2+x-2=0=>u=-2; v_1=1=>[/tex]общият им корен е 1.

[kmitov]

Според мен, сигурно ще получиш и други числа, за които двата полинома са равни, но със сигурност ще получиш и числата, за които и двата полинома са едновременно равни на 0.

Именно, и тези числа, които не са общи корени, могат да са произволно много.

Колко много може да са? Най-много колкото е по-високата степен.

Най-накрая човекът е дал конкретната задача и е получил конкретен отговор.

Първата постановка беше твърде обща.

[monika_at]

По принцип произволно много, зависи колко произволна е степента.

Първата постановка не само, че е обща, но е и грешна!.
С приравняване се откриват общите пресечни точки на графиките на две функции, но не и общите им корени.

[Zarrie]

Много благодаря !

[kmitov]

По принцип произволно много, зависи колко произволна е степента.

Първата постановка не само, че е обща, но е и грешна!.
С приравняване се откриват общите пресечни точки на графиките на две функции, но не и общите им корени.

Е колко произволна е степента, нали е дадено число.

Освен това, ако едно число е корен и на двата полинома, в тази точка и двете графики ще пресичат абсцисната ос и тя ще е обща за тях. Следователно за уравнението, в което сме приравнили двата полинома всичките такива точки ще бъдат корени.

А дали тези, които не са корени и на двата са повече това никак не е ясно. Ето пример
[tex](x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)[/tex] и [tex](x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)[/tex], като се приравнят ще се получат само общите корени.

[monika_at]

Ами, ако всеки корен на единия полином е корен и на другия и обратно? И са от 20102 степен?

[kmitov]

И какво ще стане тогава
?

[monika_at]

И какао ще стане тропам?

Ами, тропай си. Най-много да изкопаеш дупка.

[kmitov]

Сбъркал съм думата. А това не значи, че си права.

[kmitov]

Monke защо си мислиш, че знаеш повече от другите?

[kmitov]

И какао ще стане тропам?

Ами, тропай си. Най-много да изкопаеш дупка.

Тъ......а

[drago]

Това не се прави така, Моника.
За втора степен може и да става, но ако е малко по-висока ?
Да си чувала за НОД на полиноми и алгоритъм на Евклид за намирането му?

[monika_at]

Това не се прави така, Моника.
За втора степен може и да става, но ако е малко по-висока ?
Да си чувала за НОД на полиноми и алгоритъм на Евклид за намирането му?

Нещо явно не си разбрал дискусията с Митов.

[drago]

Добре де, можеше просто да кажеш: "не разбирам, обясни го по-подробно". Ясно е, че става въпрос за решението ти с Виет. Дискусиите с Митов ги чета единствено за забавление, вместо жълта преса, защото пари за такава не давам
Между другото, не разбирам защо си дала отрицателен вот за Менка, след като с нейната идея в случая нещата стават по-бързо от това с Виет. Просто приравни двата полинома и става [tex](a-1)x=a-1[/tex]. Възможностите са две: при [tex]a=1[/tex] двете у-ния са идентични. При [tex]a\neq 1[/tex] имаме [tex]x=1[/tex]. Сега просто заместваме в кое да е у-ния с [tex]x=1[/tex] (което трябва да е корен) и намираме [tex]a=-2[/tex].

Да се върнем на това, което се опитах да кажа. Ако двата полинома имат общ корен(комплексен), то НОД на двата е полином от степен поне едно. От там нататък има алгоритъм на Евклид. Така се прави в общия случай.

[kmitov]

Дискусиите с Митов ги чета единствено за забавление, вместо жълта преса, защото пари за такава не давам

Благодаря!

[MENKA]

Добре де, можеше просто да кажеш: "не разбирам, обясни го по-подробно". Ясно е, че става въпрос за решението ти с Виет. Дискусиите с Митов ги чета единствено за забавление, вместо жълта преса, защото пари за такава не давам
Между другото, не разбирам защо си дала отрицателен вот за Менка, след като с нейната идея в случая нещата стават по-бързо от това с Виет. Просто приравни двата полинома и става [tex](a-1)x=a-1[/tex]. Възможностите са две: при [tex]a=1[/tex] двете у-ния са идентични. При [tex]a\neq 1[/tex] имаме [tex]x=1[/tex]. Сега просто заместваме в кое да е у-ния с [tex]x=1[/tex] (което трябва да е корен) и намираме [tex]a=-2[/tex].

Да се върнем на това, което се опитах да кажа. Ако двата полинома имат общ корен(комплексен), то НОД на двата е полином от степен поне едно. От там нататък има алгоритъм на Евклид. Така се прави в общия случай.

Благодаря Ви,че ме подкрепихте.Моят отговор се базираше на знания за средно образование.Завършилите 12 клас не са чували за пространства,ЕВКЛИД,НОД и др.А който е учил ЛААГ-да,но това вече във факултетите по математика из страната.

[MENKA]

Зари, нека уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има корени [tex]u[/tex]и [tex]v[/tex].
Тогава, за да имат двете уравнения поне един общ корен, трябва корен на първото или и двата корена на първото да са корени и на второто, т.е. да е изпълнено [tex]g(u)g(v)=0[/tex]
От формулите на Виет за уравнението [tex]f(x)=0[/tex]=>[tex]u+v=-a; uv=1[/tex]

[tex]g(u)g(v)=(u^2+u+a)(v^2+v+a)=0[/tex]
Разкриваме скобите и след прегрупиране, получаваме:

[tex]u^2v^2+uv(u+v)+a[(u+v)^2-2uv]+uv+a(u+v)+a^2=0[/tex]. Заместваме с формулите на Виет и след преобразуване, получаваме:

[tex]a^3-3a+2=0=>(a+2)(a-1)^2=0=>a_1=1; a_2=-2[/tex]

Според мен е редно да се направи проверка с всяка от получените стойности в уравненията, за да се установи знака на дискриминантата. Ако тя е отрицателна, числото не е решение. В случая с [tex]a=1[/tex] двете уравнения имат отрицателна дискриминанта и нямат реални корени. Иначе комплексни, дал Господ
При [tex]a=-2=>f(x)=(x-1)^2=0=>u=v=1; g(x)=x^2+x-2=0=>u=-2; v_1=1=>[/tex]общият им корен е 1.

Когато давате отговор на питащите,погледнете какво им е нивото на знанията.Отговорът,който дадох,е за 12 клас,а не за 2-ри курс ФМИ.Затова аз сега ви давам отрицателен вот.

[monika_at]

Мила Менке, ти различаваш ли формулите на Виет? Това, което съм написала като решение е, за 10 клас

Освен това, общото ти изказване "приравняваме ги" не върши работа.