Система хомогенни полиноми

[Zarrie]

Здравейте, някой би ли ми обяснил как се решават следните две задачи.
Благодаря предварително.

[Добромир Глухаров]

За първата се полага [tex]x+y=u;\ xy=v\Rightarrow x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=u^2-2v[/tex] и се получава системата за [tex]u[/tex] и [tex]v[/tex]: [tex]\begin{array}{|l} u^2-2v+v=4 \\ u+v=2 \end{array}[/tex]. От второто изразяваме [tex]v=2-u[/tex] и заместваме в [tex]u^2-v=4[/tex]: [tex]u^2-2+u=4;\ u^2+u-6=0\Rightarrow u_1=2;\ u_2=-3. v_1=2-2=0;\ v_2=2-(-3)=5[/tex]. Така получаваме системите [tex]\begin{array}{|l}x+y=2\\xy=0\end{array}\cup\begin{array}{|l}x+y=-3\\xy=5\end{array}[/tex]. Оттук (използвайки Теоремата-формули на Виет) [tex](x;y)[/tex] са решения на квадратните уравнения [tex]t^2-2t+0=0[/tex] и [tex]t^2+3t+5=0[/tex]. Дискриминантата на второто е [tex]D=3^2-4.5=9-20<0[/tex], следователно няма реални корени. Корените на първото са [tex]0[/tex] и [tex]2[/tex]. Окончателно [tex](x;y)\in\{(0;2),(2;0)\}[/tex]

За втората се полага [tex]x-y=u;\ xy=v\Rightarrow x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=u^2+2v[/tex] и се получава системата за [tex]u[/tex] и [tex]v[/tex]: [tex]\begin{array}{|l} u^2+2v+v=19u^2 \\ u^2+2v-v=7u \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} 18u^2=3v \\ u^2-7u+v=0 \end{array}[/tex]. От първото изразяваме [tex]v=6u^2[/tex] и заместваме в [tex]u^2-7u+v=0[/tex]: [tex]u^2-7u+6u^2=0;\ u(7u-7)=0\Rightarrow u_1=0;\ u_2=1.\ \ v_1=6.0^2=0;\ v_2=6.1^2=6[/tex]. Така получаваме системите [tex]\begin{array}{|l}x-y=0\\xy=0\end{array}\cup\begin{array}{|l}x-y=1\\xy=6\end{array}[/tex]. От първата система [tex]x=y;\ x^2=0\Rightarrow x=y=0[/tex]. От втората: [tex]y=x-1;\ x(x-1)=6;\ x^2-x-6=0;\ x_1=3;\ x_2=-2[/tex]. Окончателно [tex](x;y)\in\{(0;0),(3;2),(-2;-3)\}[/tex]

[Knowledge Greedy]

1. Това е симетрична система, решава се с полагане.
Полагаме [tex]\begin{array}{|l}
x+y=u\\
xy=v
\end{array}[/tex]
Системата става [tex]\begin{array}{|l}
u^2-v=4\\
u+v=2
\end{array}[/tex]
И оттук вече е доста по-ясна.

2. Втората е антисиметрична. Решава се също с полагане.
Полагаме [tex]\begin{array}{|l}
x-y=u\\
xy=v
\end{array}[/tex]
Явно трябва да приложим основното тъждество [tex](x-y)^2=x^2-2xy+y^2[/tex]
Преди да извършим заместването с новите означения свеждаме системата до вида
[tex]\begin{array}{|l}
(x-y)^2+3xy=19(x-y)^2\\
(x-y)^2+xy=7(x-y)
\end{array}[/tex]
Системата с новите неизвестни е [tex]\begin{array}{|l}
u^2+3v=19u^2\\
u^2+v=7u
\end{array}[/tex]
Сега вече лесно се изключва едното от неизвестните- например [tex]v[/tex] и се получават решенията.

[Zarrie]

Благодаря много! Дано не е глупав въпросът, но защо, ако разгледам първото у-е на първата задача като квадратно спрямо едното неизвестно не получавам решение ?

[krumbgf]

Дискриминантата ти се получава [tex]16-3y^2[/tex] което не е точен квадрат. Ако беше точен квадрат щеше да можеш да го решиш така.

[Knowledge Greedy]

krumbgf е точен с отговора на този въпрос.

Благодаря много! ..., но защо, ако разгледам първото у-е на първата задача като квадратно спрямо едното неизвестно не получавам решение ?

Но искам да обърна внимание на друг, тъй като вече се повтаря. Системата на задача 1 е не е хомогенна. Тя съдържа един хомогенен полином [tex]x^2+xy+y^2[/tex] - в първото уравнение. Но когато не е приравнен на нула, решаването спрямо едното неизвестно ще доведе до много тежки изчисления, поради неточната дискриминанта.
Ето защо в системи, в които има две уравнения съдържащи хомогенни полиноми, се стремим да ги доведем до хомогенни уравнения - хомогенен полином приравнен на нула. Тогава с въпроса на Zarrie ще се получи решението.
Виж тази задача като пример.
3. Да се реши системата
[tex]\begin{array}{|l}x^2+xy+3y^2=6\\2x^2-xy-y^2=2\end{array}[/tex].
В нея има два хомогенни от втора степен полиноми, но няма хомогенно уравнение. За да се получи такова, трябва второто да се умножи по (-3) и да се добави към първото. Така ще се получи хомогенното уравнение [tex]-5x^2+4xy+6y^2=0[/tex], което ще можеш да решиш с предложения от теб начин

..., ако разгледам първото у-е на първата задача като квадратно спрямо едното неизвестно ...

Или тази, в която изобщо няма хомогенен полином, но след кратко преобразуване (чрез събиране на уравнения), ще се получи такъв
4.Да се реши системата
[tex]\begin{array}{|l}x^2- xy-2y^2-6x+8y=14\\3x-4y=-7\end{array}[/tex]
(Тук пък второто ще трябва да умножиш по 2 и да добавиш почленно към първото.)

[MENKA]

Задачи 6 и 7.Правите преобразования такива,че да имате х-у или х+у и/или х*у.Първо огледайге задачата и започнете преобразованията тогава.

[loving_math]

Menka,само за протокола: В математиката се правят преобразУвания, а в училища и унивеситети се добива образОвателна степен.

[MENKA]

Menka,само за протокола: В математиката се правят преобразУвания, а в училища и унивеситети се добива образОвателна степен.

Приемам забележката за у-то.

[Knowledge Greedy]

Понякога човек се обърква от ударението. Гласната под ударение потъмнява и се трансформира в записа погрешно. Трябва да се внимава